Question

7．如圖，拋物線y=-x²+ax+b經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（1，0），B（5，0），與y軸交于點(diǎn)C，直線DF與x軸垂直，與拋物線交于點(diǎn)D，其橫坐標(biāo)為2，點(diǎn)E與點(diǎn)D關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱．
（1）求拋物線的解析式和點(diǎn)E的坐標(biāo)；
（2）連接CD，BD，BC，請(qǐng)求出△BDC的面積；
（3）點(diǎn)M是直線DF上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)N是x軸上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)以點(diǎn)M、N、E為頂點(diǎn)的三角形是等腰直角三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)N的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式，根據(jù)自變量與函數(shù)值得對(duì)應(yīng)關(guān)系，可得D點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，可得答案；
（2）根據(jù)待定系數(shù)法，可得CD的解析式，根據(jù)自變量與函數(shù)值的對(duì)應(yīng)關(guān)系，可得F點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)三角形的面積，可得答案；
（3）分別以點(diǎn)C、M、N為直角頂點(diǎn)分三類進(jìn)行討論，利用全等三角形和勾股定理ON的長(zhǎng)即可．

解答 解：（1）將A，B點(diǎn)的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式$\left\{\begin{array}{l}{-1+a+b=0}\\{-25+5a+b=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=6}\\{b=-5}\end{array}\right.$，
拋物線的解析式為y=-x²+6x-5，
y=-（x-3）²+4，對(duì)稱軸是x=3，
當(dāng)x=2時(shí)，y=-2²+2×6-5=3，即D點(diǎn)的坐標(biāo)是（2，3），
點(diǎn)E與點(diǎn)D關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，得
E點(diǎn)坐標(biāo)（4，3）；

（2）如圖1，
CD的解析式為y=4x-5，
當(dāng)y=0時(shí)，x=$\frac{5}{4}$，即F（$\frac{5}{4}$，0），
BF=5-$\frac{5}{4}$=$\frac{15}{4}$，
S_△DBC=$\frac{1}{2}$BF（y_D-y_C）
=$\frac{1}{2}$×$\frac{15}{4}$×（3+5）=15；

（3）以點(diǎn)C、M、N為頂點(diǎn)的三角形為等腰直角三角形時(shí)，分三類情況討論：
①以點(diǎn)M為直角頂點(diǎn)且M在x軸上方時(shí)，如圖2，EM=MN，∠CMN=90°，

則△EDM≌△MFN，
∴DE=MF=2，F(xiàn)N=DM=DE-MF=3-2=1，
NO=OF+FN=2+1=3
∴N（3，0）；
②以點(diǎn)M為直角頂點(diǎn)且M在x軸下方時(shí)，如圖3，

作輔助線，構(gòu)建如圖所示的兩直角三角形：Rt△NHM和Rt△MGE，
得Rt△NHM≌Rt△MGE，
∴HM=EG=5，
∵OH=1，
∴ON=NF-OF=5-2=3，
∴N（-3，0）；
③以點(diǎn)N為直角頂點(diǎn)且N在y軸左側(cè)時(shí)，如圖4，CN=MN，∠MNC=90°，作輔助線，

同理得Rt△NKM≌Rt△EHN，
∴MK=NF=HN=3，
∴ON=FN-OF=3-2=1，
∴N（-1，0）；
④以點(diǎn)N為直角頂點(diǎn)且N在y軸右側(cè)時(shí)，作輔助線，如圖5，

同理得MK=HN=NF=3，
∴ON=OF+FN=2+3=5，
∴N（5，0）；
⑤以C為直角頂點(diǎn)時(shí)，不能構(gòu)成滿足條件的等腰直角三角形；
綜上可知當(dāng)△CMN為等腰直角三角形時(shí)N點(diǎn)坐標(biāo)為（3，0）或（-3，0）或（-1，0）或（5，0）．

點(diǎn)評(píng) 本題為二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，主要涉及待定系數(shù)法、三角形的面積、等腰直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、方程思想及分類討論思想等知識(shí)點(diǎn)．在（1）中注意待定系數(shù)法的應(yīng)用，在（2）中求出FB的長(zhǎng)是解題關(guān)鍵；在（3）中分三種情況分別求得ON的長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵．本題考查知識(shí)點(diǎn)較多，綜合性較強(qiáng)，難度較大．