Question

已知，拋物線y=ax²-2ax與x軸交于A、B兩點（點A在點B的右側(cè)），且拋物線與直線y=-2ax-1的交點恰為拋物線的頂點C．
（1）求a的值；
（2）如果直線y=-x+b（）與x軸交于點D，與線段BC交于點E，求△CDE面積的最大值；
（3）在（2）的結(jié)論下，在x軸下方，是否存在點F，使△BDF與△BCD相似？如果存在，請求出點F的坐標(biāo)；不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）∵y=ax²-2ax=ax（x-2），
又∵拋物線y=ax²-2ax與x軸交于A、B兩點（點A在點B的右側(cè)），
∴A（2，0），B（0，0），頂點C（1，-a），
∵拋物線與直線y=-2ax-1的交點恰為拋物線的頂點C，
∴-2a-1=-a，
解得：a=-1．

（2）如圖1，由（1）得直線BC的解析式為y=x，
∵直線y=-x+b（）與x軸交于點D，與線段BC交于點E，
∴D（b，0），E（，），
∴S_△CDE=S_△CBD-S_△BDE=×b×1-×b×=-（b-1）²+，
∵當(dāng)b＞1時，s隨著b的增大而減小，
∵≤b≤，
∴當(dāng)b=時，△CDE面積最大，
最大值為：-（-1）²+=．

（3）如圖2，△BCD中，BC=BD=，∠CBD=45°，
在x軸下方存在點F，使△BDF與△BCD全等，即△BDF與△BCD相似，
∴F₂（1，-1），
過點F₁作F1M⊥OD于M，
∵DF₁=OD=OC=，∠ODF₁=∠CBD=45°，
∴F₁M=DM=1，
∴F₁（-1，-1），
過F₃N⊥BD于N，過點C作CG⊥BD于G，
∴△CGD∽△F₃ON，
∴CG：F₃N=GD：BG，
∵GD=-1，CG=1，BG=，
∴，
∴F₃G=1+，
∴F₃（，-1-）．
∴存在點F₁（-1，-1），F(xiàn)₂（1，-1），F(xiàn)₃（，-1-），使△BDF與△BCD相似．
分析：（1）由拋物線y=ax²-2ax與x軸交于A、B兩點（點A在點B的右側(cè)），即可得A（2，0），B（0，0），頂點C（1，-a），又由拋物線與直線y=-2ax-1的交點恰為拋物線的頂點C，即可得方程-2a-1=-a，則可求得a的值；
（2）由（1）得直線BC的解析式為y=x，又由直線y=-x+b（）與x軸交于點D，與線段BC交于點E，可得D（b，0），E（，），則可得S_△CDE=S_△CBD-S_△BDE=-（b-1）²+，則可求得△CDE面積的最大值；
（3）分別從在x軸下方存在點F，使△BDF與△BCD全等，即△BDF與△BCD相似，與△BCD∽△FBD去分析，即可求得答案．
點評：此題屬于二次函數(shù)的綜合題，考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式、相似三角形的判定與性質(zhì)，二次函數(shù)的最值問題等知識．此題難度較大，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想與方程思想的應(yīng)用．