Question

已知反比例函數(shù)y=

k

x

的圖象與正比例函數(shù)y=4x的圖象相交于點(diǎn)A，點(diǎn)A的坐標(biāo)是（1，m）．
（1）求m的值及反比例函數(shù)的解析式；
（2）若正比例函數(shù)y=

1

4

x與反比例函數(shù)y=

4

x

的在第一象限內(nèi)交于點(diǎn)B，過(guò)點(diǎn)A作x軸的垂線，C為垂足，且交直線y=

1

4

x于點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)B作x軸的垂線，D為垂足，求梯形PBDC的面積；
（3）聯(lián)結(jié)AB，求△AOB的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題

專(zhuān)題：

分析：（1）根據(jù)自變量的值，可得相應(yīng)的函數(shù)值，根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式；
（2）根據(jù)自變量的值，可得相應(yīng)的函數(shù)值，即P點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)聯(lián)立y=

1

4

x與反比例函數(shù)y=

4

x

，可的方程組，根據(jù)解方程組，可得B點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)線段的和差，可得BD、CD的長(zhǎng)，根據(jù)梯形的面積公式，可得答案；
（3）根據(jù)勾股定理，可得OB的長(zhǎng)，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式，可得AE的長(zhǎng)，根據(jù)三角形的面積公式，可得答案．

解答：解：（1）把A（1，m）代入y=4x
∴m=4，
把A（1，4）代入y=

k

x

，得
k=xy=4，
∴反比例函數(shù)的解析式y=

4

x

；
（2）把x=1代入y=

1

4

x，則y=

1

4

∴P（1，

1

4

），
∴PC=

1

4

．
聯(lián)立y=

1

4

x與反比例函數(shù)y=

4

x

，得

y= 4 x y= 1 4 x

，解得

x=4 y=1

，即B（4，1）
∴BD=1，CD=OD-OC=3
S_梯形PBDC=

1

2

(PC+BD)•CD=

1

2

×(

1

4

+1)×3=

15

8

；
（3）如圖：連接AB，作AE⊥OB與E點(diǎn)，，
由勾股定理，得OB=

OD2+BD2

=

42+12

=

17

，
由點(diǎn)到直線的距離公式，得AE=

| 1 4 ×1-4|

( 1 4 )2+(-1)2

=

15 17

17

，
由三角形的面積，得S=

1

2

OB•AE=

1

2

×

17

×

15 17

17

=

15

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題，（1）利用了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，（2）利用了線段的和差，梯形的面積公式，（3）利用了點(diǎn)到直線的距離公式：P（x₀，y₀）到直線ax+by+c=0的距離是

|ax0+by0+c|

a2+b2

，三角形的面積公式．