Question

如圖，在△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4．O為BC邊上一點(diǎn)，以O(shè)為圓心，OB為半徑作半圓與BC邊和AB邊分別交于點(diǎn)D、點(diǎn)E，連接DE．
（1）過(guò)點(diǎn)E作直線(xiàn)EF交AC邊于點(diǎn)F，當(dāng)EF=AF時(shí)，求證：直線(xiàn)EF為半圓O的切線(xiàn)；
（2）當(dāng)BD=3時(shí)，求線(xiàn)段DE的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）連接OE．根據(jù)切線(xiàn)的判定定理，需證EF⊥OE；
（2）易證△ABC∽△DBE，得比例線(xiàn)段求解．

解答：（本小題滿(mǎn)分5分）
證明：（1）連接OE．
∵EF=AF，
∴∠A=∠AEF．
∵OE=OB，
∴∠OEB=∠OBE．
∵∠C=90°，
∴∠A+∠B=90°．
∴∠AEF+∠OEB=90°．
∴∠FEO=90°．
∵OE是⊙O半徑，
∴EF是⊙O的切線(xiàn)．

解：（2）∵∠C=90°，BC=4，AC=3，
∴AB=5．
∵BD是直徑，
∴∠DEB=90°．
∴∠DEB=∠C．
∵∠B=∠B，
∴△BED∽△BCA．
∴

BD

AB

=

DE

AC

，
∴

3

5

=

DE

3

，DE=

9

5

．

點(diǎn)評(píng)：證明經(jīng)過(guò)圓上一點(diǎn)的直線(xiàn)是圓的切線(xiàn)，常作輔助線(xiàn)是連接圓心和該點(diǎn)，證明直線(xiàn)和該半徑垂直．