Question

16．如圖，在邊長為2的正方形ABCD中，點M是BC邊上的任一點，連接AM并將線段AM繞M順時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段MN，在CD邊上取點P使CP=BM，連接NP，BP．
（1）判斷四邊形BMNP的形狀，并加以證明；
（2）線段MN與CD交于點Q，連接AQ，若△MCQ∽△AMQ，求PN的長．

Answer 1

分析 （1）由四邊形ABCD是正方形，得到AB=BC，∠ABC=∠C=90°，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AM=BP，∠BAM=∠CBP，等量代換得到∠CBP+∠AMB=90°，得到AM⊥BP，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到AM⊥MN，AM=MN即可得到結論；
（2）根據(jù)余角的性質(zhì)得到∠BAM=∠CMQ，推出△ABM∽△MCQ，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到$\frac{AB}{CM}=\frac{MA}{MQ}$，$\frac{MA}{MQ}=\frac{AB}{BM}$，等量代換得到$\frac{AB}{MC}=\frac{AB}{BM}$，求得BM=MC于是得到結論．

解答 解：（1）四邊形PBMN是平行四邊形，
理由：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABC=∠C=90°，
在△ABM與△BCP中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=BC}\\{∠ABC=∠C}\\{BM=CP}\end{array}\right.$，
∴△ABM≌△BCP，
∴AM=BP，∠BAM=∠CBP，
∵∠BAM+∠AMB=90°，
∴∠CBP+∠AMB=90°，
∴AM⊥BP，
∵將線段AM繞M順時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段MN，
∴AM⊥MN，AM=MN，
∴MN∥PB，MN=PB，
∴四邊形BMNP是平行四邊形；

（2）∵∠BAM+∠AMB=90°，∠AMB+∠CMQ=90°，
∴∠BAM=∠CMQ，
∵∠ABM=∠C=90°，
∴△ABM∽△MCQ，
∴$\frac{AB}{CM}=\frac{MA}{MQ}$，
∵△ABM∽△MCQ∽△AMQ，
∴$\frac{MA}{MQ}=\frac{AB}{BM}$，
∴$\frac{AB}{MC}=\frac{AB}{BM}$，
∴BM=MC，
∴PN=BM=CM=$\frac{1}{2}$BC=1．

點評 本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關鍵．