Question

（1）觀察發(fā)現(xiàn)

   如圖（1）：若點(diǎn)A、B在直線(xiàn)m同側(cè)，在直線(xiàn)m上找一點(diǎn)P，使AP+BP的值最小，做法如下：

   作點(diǎn)B關(guān)于直線(xiàn)m的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B′，連接AB′，與直線(xiàn)m的交點(diǎn)就是所求的點(diǎn)P，線(xiàn)段AB′的長(zhǎng)度即為AP+BP的最小值．

   如圖（2）：在等邊三角形ABC中，AB=2，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，AD是高，在AD上找一點(diǎn)P，使BP+PE的值最小，做法如下：

作點(diǎn)B關(guān)于AD的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，恰好與點(diǎn)C重合，連接CE交AD于一點(diǎn)，則這點(diǎn)就是所求的點(diǎn)P，故BP+PE的最小值為　　．

 （2）實(shí)踐運(yùn)用

   如圖（3）：已知⊙O的直徑CD為2，的度數(shù)為60°，點(diǎn)B是的中點(diǎn)，在直徑CD上作出點(diǎn)P，使BP+AP的值最小，則BP+AP的值最小，則BP+AP的最小值為　　．

  （3）拓展延伸

如圖（4）：點(diǎn)P是四邊形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，分別在邊AB、BC上作出點(diǎn)M，點(diǎn)N，使PM+PN的值最小，保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法．

Answer 1

考點(diǎn)：

圓的綜合題；軸對(duì)稱(chēng)-最短路線(xiàn)問(wèn)題．

分析：

（1）觀察發(fā)現(xiàn)：利用作法得到CE的長(zhǎng)為BP+PE的最小值；由AB=2，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到CE⊥AB，∠BCE=∠BCA=30°，BE=1，再根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得CE=；

（2）實(shí)踐運(yùn)用：過(guò)B點(diǎn)作弦BE⊥CD，連結(jié)AE交CD于P點(diǎn)，連結(jié)OB、OE、OA、PB，根據(jù)垂徑定理得到CD平分BE，即點(diǎn)E與點(diǎn)B關(guān)于CD對(duì)稱(chēng)，則AE的長(zhǎng)就是BP+AP的最小值；

由于的度數(shù)為60°，點(diǎn)B是的中點(diǎn)得到∠BOC=30°，∠AOC=60°，所以∠AOE=60°+30°=90°，于是可判斷△OAE為等腰直角三角形，則AE=OA=；

（3）拓展延伸：分別作出點(diǎn)P關(guān)于AB和BC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)E和F，然后連結(jié)EF，EF交AB于M、交BC于N．

解答：

解：（1）觀察發(fā)現(xiàn)

如圖（2），CE的長(zhǎng)為BP+PE的最小值，

∵在等邊三角形ABC中，AB=2，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)

∴CE⊥AB，∠BCE=∠BCA=30°，BE=1，

∴CE=BE=；

故答案為；

（2）實(shí)踐運(yùn)用

如圖（3），過(guò)B點(diǎn)作弦BE⊥CD，連結(jié)AE交CD于P點(diǎn)，連結(jié)OB、OE、OA、PB，

∵BE⊥CD，

∴CD平分BE，即點(diǎn)E與點(diǎn)B關(guān)于CD對(duì)稱(chēng)，

∵的度數(shù)為60°，點(diǎn)B是的中點(diǎn)，

∴∠BOC=30°，∠AOC=60°，

∴∠EOC=30°，

∴∠AOE=60°+30°=90°，

∵OA=OE=1，

∴AE=OA=，

∵AE的長(zhǎng)就是BP+AP的最小值．

故答案為；

（3）拓展延伸

如圖（4）．

點(diǎn)評(píng)：

本題考查了圓的綜合題：弧、弦和圓心角之間的關(guān)系以及圓周角定理在有關(guān)圓的幾何證明中經(jīng)常用到，同時(shí)熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)以及軸對(duì)稱(chēng)﹣最短路徑問(wèn)題．