Question

（觀察下列等式：

1

1×2

=1-

1

2

，

1

2×3

=

1

2

-

1

3

，

1

3×4

=

1

3

-

1

4

，以上三個(gè)等式兩邊分別相加得：

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

=1-

1

4

=

3

4

．
（1）猜想并寫(xiě)出：

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

．
（2）直接寫(xiě)出下列各式的計(jì)算結(jié)果：

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

49×50

=

49

50

；
（3）計(jì)算：

1

1×3

+

1

3×5

+

1

5×7

+…+

1

2007×2009

．

Answer 1

分析：（1）分子為1，分母為相鄰2個(gè)數(shù)的積，結(jié)果等于分子為1，分母分別為2個(gè)因數(shù)的分?jǐn)?shù)的差；
（2）化簡(jiǎn)后，只剩首尾兩個(gè)數(shù)，相減即可；
（3）分子為1，分母為相差2的2個(gè)數(shù)的積，結(jié)果等于分子為1，分母分別為2個(gè)因數(shù)的分?jǐn)?shù)的差，再乘以

1

2

，進(jìn)而按照（2）得到的規(guī)律，計(jì)算即可；

解答：解：（1）

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

；
故答案為

1

n

-

1

n+1

；

（2）原式=1-

1

50

=

49

50

；
故答案為

49

50

；

（3）原式=（1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2007

-

1

2009

）×

1

2

=（1-

1

2009

）×

1

2

=

2008

2009

×

1

2

=

1004

2009

．

點(diǎn)評(píng)：考查數(shù)字的變化規(guī)律；得到分子為1，分母為等差數(shù)列的幾個(gè)分?jǐn)?shù)的和的計(jì)算方法是解決本題的關(guān)鍵．