Question

如圖，拋物線y=x²+bx+c與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C（0，-3），對(duì)稱(chēng)軸是直線x=1，直線BC與拋物線的對(duì)稱(chēng)軸交于點(diǎn)D．
（1）求拋物線的解析式；
（2）點(diǎn)E為y軸上一動(dòng)點(diǎn)，CE的垂直平分線交CE于點(diǎn)F，交拋物線于P，Q兩點(diǎn)，且點(diǎn)P在第三象限．
①當(dāng)線段PQ=

3

4

AB時(shí)，求tan∠CED的值；
②當(dāng)∠CDE=90°時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)P，點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專(zhuān)題：

分析：（1）利用對(duì)稱(chēng)軸公式即可得出b的值，再利用拋物線與y軸交于點(diǎn)C（0，-3），求出拋物線解析式即可；
（2）①首先求出直線BC的解析式，進(jìn)而得出D點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而得出EG和DG的長(zhǎng)進(jìn)而求出即可；
②當(dāng)∠CDE=90°時(shí)，則CE為斜邊，則DG²=CG•GE，即1=（OC-OG）•（2-a），求出a的值，進(jìn)而得出P，Q點(diǎn)坐標(biāo)．

解答：解：（1）∵拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為直線x=1，
∴-

b

2a

=-

b

2

=1，
∴b=-2
∵拋物線與y軸交于點(diǎn)C（0，-3），
∴c=-3，
∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式為：y=x²-2x-3；

（2）①∵拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)，
當(dāng)y=0時(shí)，x²-2x-3=0．
∴x₁=-1，x₂=3．
∵A點(diǎn)在B點(diǎn)左側(cè)，
∴A（-1，0），B（3，0）
設(shè)過(guò)點(diǎn)B（3，0）、C（0，-3）的直線的函數(shù)表達(dá)式為y=kx+m，
則

0=3k+m -3=m

，
∴

k=1 m=-3

∴直線BC的函數(shù)表達(dá)式為y=x-3；
∵AB=4，PQ=

3

4

AB，
∴PQ=3
∵PQ⊥y軸
∴PQ∥x軸，
則由拋物線的對(duì)稱(chēng)性可得PM=

3

2

，
∵對(duì)稱(chēng)軸是直線x=1，
∴P到y(tǒng)軸的距離是

1

2

，
∴點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為-

1

2

，
∴P（-

1

2

，-

7

4

）
∴F（0，-

7

4

），
∴FC=3-OF=3-

7

4

=

5

4

∵PQ垂直平分CE于點(diǎn)F，
∴CE=2FC=

5

2

∵點(diǎn)D在直線BC上，
∴當(dāng)x=1時(shí)，y=-2，則D（1，-2），
過(guò)點(diǎn)D作DG⊥CE于點(diǎn)G，
∴DG=1，CG=1，
∴GE=CE-CG=

5

2

-1=

3

2

．
在Rt△EGD中，tan∠CED=

GD

EG

=

2

3

．

②
設(shè)OE=a，則GE=2-a，
當(dāng)∠CDE=90°時(shí)，則CE為斜邊，
則DG²=CG•GE，即1=（OC-OG）•（2-a），
∴1=1×（2-a），
∴a=1，
∴CE=2，
∴OF=OE+EF=2
∴F、P的縱坐標(biāo)為-2，
把y=-2，代入拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=x²-2x-3得：x=1+

2

或1-

2

∵點(diǎn)P在第三象限．
∴P（1-

2

，-2），
故Q點(diǎn)坐標(biāo)為：（1+

2

，-2），
綜上所述：滿足條件為P（1-

2

，-2），Q（1+

2

，-2）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了二次函數(shù)的綜合題型以及直角三角形的性質(zhì)和待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式等知識(shí)，利用直角三角形的性質(zhì)得出a的值是解題關(guān)鍵．