Question

（2012•江岸區(qū)模擬）如圖1，拋物線y=

1

4

（x-m）²的頂點A在x軸正半軸，與y軸相交于點B，B（0，1），連接AB．
（1）求拋物線的解析式；
（2）如圖2，P為AB延長線上一點，PH⊥x軸于H，將△PAH沿直線AB翻折得到△PQA，QA交y軸于點C，若點Q恰好在拋物線上，求Q點坐標；
（3）如圖3，將圖1中的拋物線沿對稱軸向下平移n個長度單位，新拋物線的頂點為P，它與直線AB相交于M、N兩點，連接PM、PN．探究：當n取何值時，∠MPN=90°．

Answer 1

分析：（1）把點B的坐標代入拋物線解析式求出m，再根據(jù)頂點A在x軸正半軸確定m的值，然后寫出拋物線即可；
（2）連接HQ交AP于R，過點Q作QD⊥x軸于D，根據(jù)點A、B的坐標求出OA、OB，再利用勾股定理列式求出AB的長，根據(jù)同角的余角相等求出∠DQH=∠HAR，設(shè)DH=a，然后表示出DQ，利用勾股定理列式求出QH，根據(jù)翻折的性質(zhì)可得RH=

1

2

QH，再表示出AH，然后求出OD，從而得到點D的橫坐標，再根據(jù)點Q在拋物線上列出方程求解即可；
（3）過點P作x軸的平行線l，過點M作ME⊥l于E，過點N作NF⊥l于F，然后求出△MEP和△PFN相似，利用相似三角形對應邊成比例列式表示出點M、N的橫坐標與縱坐標的關(guān)系，再聯(lián)立平移后的拋物線與直線的解析式并整理得到點M、N的橫坐標與縱坐標的關(guān)系，然后代入得到關(guān)于n的一元二次方程，求解即可．

解答：解：（1）∵拋物線y=

1

4

（x-m）²經(jīng)過點B（0，1），
∴

1

4

（0-m）²=1，
解得m=±2，
∵頂點A在x軸正半軸，
∴m=2，
∴拋物線的解析式為y=

1

4

（x-2）²；

（2）如圖2，連接HQ交AP于R，過點Q作QD⊥x軸于D，
∵點A（2，0），B（0，1），
∴OA=2，OB=1，
∴AB=

22+12

=

5

，
由翻折的性質(zhì)得，AP⊥QH，
∴∠HAR+∠QHD=90°，
∵∠DQH+∠QHD=90°，
∴∠DQH=∠HAR，
設(shè)DH=a，則DQ=DH÷tan∠DQH=2a，
由勾股定理得，QH=

a2+(2a)2

=

5

a，
∴RH=

1

2

QH=

5

2

a，
AH=RH÷sin∠BAO=

5

2

a÷

1

5

=

5

2

a，
∴OD=

5

2

a-a-2=

3

2

a-2，
∴點Q的橫坐標為2-

3

2

a，
∵點Q在拋物線上，
∴

1

4

（2-

3

2

a-2）²=2a，
解得a₁=0（舍去），a₂=

32

9

，
∴2-

3

2

×

32

9

=-

10

3

，
∴點Q的坐標為（-

10

3

，

64

9

）；

（3）如圖3，過點P作x軸的平行線l，過點M作ME⊥l于E，過點N作NF⊥l于F，
∵∠MPN=90°，
∴∠MPE+∠NPF=180°-90°=90°，
∵∠MPE+∠PME=180°-90°=90°，
∴∠NPF=∠PME，
又∵∠MEP=∠PFN=90°，
∴△MEP∽△PFN，
∴

ME

PF

=

PE

NF

，
即

yM+n

xN-2

=

2-xM

yN+n

，
∴x_M•x_N-2（x_M+x_N）+4+y_M•y_N+n（y_M+y_N）+n²=0，
∵拋物線向下平移n個單位，
∴平移后的拋物線為y=

1

4

（x-2）²-n，
易求直線AB的解析式為y=-

1

2

x+1，
聯(lián)立

y= 1 4 (x-2)2-n y=- 1 2 x+1

，
消掉y得，x²-2x-4n=0，
∴x_M+x_N=-

b

a

=-

-2

1

=2，x_M•x_N=

c

a

=

-4n

1

=-4n，
y_M+y_N=-

1

2

x_M+1-

1

2

x_N+1=-

1

2

（x_M+x_N）+2=-

1

2

×2+2=1，
y_M•y_N=（-

1

2

x_M+1）×（-

1

2

x_N+1）=

1

4

x_M•x_N-

1

2

（x_M+x_N）+1=

1

4

×（-4n）-

1

2

×2+1=-n，
∴-4n-2×2+4+（-n）+n×1+n²=0，
整理得，n²-4n=0，
解得n₁=4，n₂=0（舍去），
∴當n=4時，∠MPN=90°．

點評：本題是對二次函數(shù)的綜合考查，主要利用了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，翻折變換的性質(zhì)，勾股定理的應用，解直角三角形，相似三角形的判定與性質(zhì)，根與系數(shù)的關(guān)系，難點在于作輔助線．