Question

已知：如圖，菱形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，且AC=12cm，BD=16cm．點P從點B出發(fā)，沿BA方向勻速運動，速度為1cm/s；同時，直線EF從點D出發(fā)，沿DB方向勻速運動，速度為1cm/s，EF⊥BD，且與AD，BD，CD分別交于點E，Q，F(xiàn)；當(dāng)直線EF停止運動時，點P也停止運動．連接PF，設(shè)運動時間為t（s）（0＜t＜8）．解答下列問題：
（1）當(dāng)t為何值時，四邊形APFD是平行四邊形？
（2）設(shè)四邊形APFE的面積為y（cm²），求y與t之間的函數(shù)關(guān)系式；
（3）是否存在某一時刻t，使S_{四邊形APFE}：S_菱形ABCD=17：40？若存在，求出t的值，并求出此時P，E兩點間的距離；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：四邊形綜合題,相似三角形的性質(zhì)

專題：幾何綜合題,壓軸題

分析：（1））由四邊形ABCD是菱形，OA=

1

2

AC，OB=

1

2

BD．在Rt△AOB中，運用勾股定理求出AB=10．再由△DFQ∽△DCO．得出

DF

DC

=

QD

OD

．求出DF．由AP=DF．求出t．
（2）過點C作CG⊥AB于點G，由S_菱形ABCD=AB•CG=

1

2

AC•BD，求出CG．據(jù)S_梯形APFD=

1

2

（AP+DF）•CG．S_△EFD=

1

2

EF•QD．得出y與t之間的函數(shù)關(guān)系式；
（3）過點C作CG⊥AB于點G，由S_菱形ABCD=AB•CG，求出CG，由S_{四邊形APFE}：S_菱形ABCD=17：40，求出t，再由△PBN∽△ABO，求得PN，BN，據(jù)線段關(guān)系求出EM，PM再由勾股定理求出PE．

解答：解：（1）∵四邊形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，AC⊥BD，OA=OC=

1

2

AC=6，OB=OD=

1

2

BD=8．
在Rt△AOB中，AB=

62+82

=10．
∵EF⊥BD，
∴∠FQD=∠COD=90°．
又∵∠FDQ=∠CDO，
∴△DFQ∽△DCO．
∴

DF

DC

=

QD

OD

．
即

DF

10

=

t

8

，
∴DF=

5

4

t．
∵四邊形APFD是平行四邊形，
∴AP=DF．
即10-t=

5

4

t，
解這個方程，得t=

40

9

．
∴當(dāng)t=

40

9

s時，四邊形APFD是平行四邊形．

（2）如圖，過點C作CG⊥AB于點G，

∵S_菱形ABCD=AB•CG=

1

2

AC•BD，
即10•CG=

1

2

×12×16，
∴CG=

48

5

．
∴S_梯形APFD=

1

2

（AP+DF）•CG
=

1

2

（10-t+

5

4

t）•

48

5

=

6

5

t+48．
∵△DFQ∽△DCO，
∴

QD

OD

=

QF

OC

．
即

t

8

=

QF

6

，
∴QF=

3

4

t．
同理，EQ=

3

4

t．
∴EF=QF+EQ=

3

2

t．
∴S_△EFD=

1

2

EF•QD=

1

2

×

3

2

t×t=

3

4

t²．
∴y=（

6

5

t+48）-

3

4

t²=-

3

4

t²+

6

5

t+48．

（3）如圖，過點P作PM⊥EF于點M，PN⊥BD于點N，

若S_{四邊形APFE}：S_菱形ABCD=17：40，
則-

3

4

t²+

6

5

t+48=

17

40

×96，
即5t²-8t-48=0，
解這個方程，得t₁=4，t₂=-

12

5

（舍去）
過點P作PM⊥EF于點M，PN⊥BD于點N，
當(dāng)t=4時，
∵△PBN∽△ABO，
∴

PN

AO

=

PB

AB

=

BN

BO

，即

PN

6

=

4

10

=

BN

8

．
∴PN=

12

5

，BN=

16

5

．
∴EM=EQ-MQ=3-

12

5

=

3

5

．
PM=BD-BN-DQ=16-

16

5

-4=

44

5

．
在Rt△PME中，
PE=

PM2+EM2

=

( 44 5 )2+( 3 5 )2

=

1945

5

（cm）．

點評：本題主要考查了四邊形的綜合知識，解題的關(guān)鍵是根據(jù)三角形相似比求出相關(guān)線段．