Question

如圖，Rt△ABC中，∠ACB=90°，以斜邊AB為邊向外作正方形ABDE，且正方形對角線交于點O，連接OC．
（1）求證：CO平分∠ACB
（2）若AC=2，BC=4，求OC的長．

Answer 1

考點：正方形的性質,全等三角形的判定與性質,勾股定理

專題：

分析：（1）過點O作OM垂直于CA于點N，作ON垂直于CB于點N，易證四邊形MCNO是矩形，利用已知條件再證明△AOM≌△BON，因為OM=ON，所以CO平分∠ACB；
（2）因為△AOM≌△BON，所以AM=BN，進而求出CN的長，根據勾股定理即可求出OC的長．

解答：（1）證明：過點O作OM垂直于CA于點N，作ON垂直于CB于點N，
∴∠OMC=∠ONC=90°，
∵∠ACB=90°，
∴四邊形MCNO是矩形，
∴∠MON=90°，
∵正方形 ABDE對角線交于點O，
∴OA=OB，∠AOB=90°，
∴∠MON-∠AON=∠AOB-∠AON，
∴∠AOM=∠NOB，
∵∠OMA=∠ONB=90°，
在△AOM和△BON中，

∠AOM=∠BON ∠OMA=∠ONB=90° OA=OB

，
∴△AOM≌△BON（AAS），
∴OM=ON，
∴CO平分∠ACB                                   

（2）解：∵△AOM≌△BON，
∴AM=BN，
∵AC=2，BC=4
∴CN=

AC+BC

2

=3，
∵∠OCN=45°，
∴ON=CN=3，
由勾股定理得OC=3

2

．

點評：本題考查了正方形的性質的運用，全等三角形的判定及性質的運用，勾股定理的運用，解答時證明三角形全等是關鍵．