Question

19．將拋物線y=-2x²-3向上平移若干個單位使拋物線與坐標軸有三個交點，如果這三個交點能構(gòu)成直角三角形，那么平移的距離為$\frac{7}{2}$個單位．

Answer 1

分析 設(shè)拋物線向上平移a（a＞1）個單位，則有平移后拋物線的解析式為：y=-2x²-3+a，根據(jù)兩個解析式得出A、M的坐標，得出OA的長，根據(jù)平移后的解析式得出B、C的坐標，得出BC的出，根據(jù)三角形斜邊中線的性質(zhì)得出a-3=$\sqrt{\frac{a-3}{2}}$，即可求得a的值．

解答 解：設(shè)拋物線向上平移a（a＞1）個單位，使拋物線與坐標軸有三個交點，
且這些交點能構(gòu)成直角三角形，
則有平移后拋物線的解析式為：y=-2x²-3+a，AM=a，
∵拋物線y=-2x²-3與y軸的交點M為（0，-3），即OM=3，
∴OA=AM-OM=a-3，
令y=-2x²-3+a中y=0，得到-2x²-3+a=0，
解得：x=±$\sqrt{\frac{a-3}{2}}$，
∴B（-$\sqrt{\frac{a-3}{2}}$，0），C（$\sqrt{\frac{a-3}{2}}$，0），即BC=2$\sqrt{\frac{a-3}{2}}$，
又△ABC為直角三角形，且B和C關(guān)于y軸對稱，即O為BC的中點，
∴AO=$\frac{1}{2}$BC，即a-3=$\sqrt{\frac{a-3}{2}}$，
兩邊平方得：（a-3）²=$\frac{a-3}{2}$，
∵a-3≠0，∴a-3=$\frac{1}{2}$，
解得：a=$\frac{7}{2}$．
故答案為$\frac{7}{2}$．

點評 此題考查了二次函數(shù)的圖象及幾何變換，涉及的知識有：平移規(guī)律，直角三角形的性質(zhì)，拋物線與x軸的交點，利用了轉(zhuǎn)化及數(shù)形結(jié)合的思想，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意表示出OA及BC，利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半建立兩邊長的關(guān)系，借助方程來解決問題．