Question

5．正方形ABCD中，E、F分別是AD、DC的中點(diǎn)，BE和AF交于點(diǎn)G，∠DGF=∠DBC，求證：GC=BC．

Answer 1

分析 如圖，延長AF交BC的延長線于M，△BAE≌△ADF，推出∠BGM=90°，由△ADF≌△MCF，推出AD=CM=BC，再根據(jù)直角三角形斜邊中線性質(zhì)即可證明．

解答 證明：如圖，延長AF交BC的延長線于M．

∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD，∠BAC=∠ADC=∠BCD=∠DCM=90°，
∵AE=ED，DF=FC，
∴AE=DF，
在ABE和△ADF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}\\{∠BAE=∠ADF}\\{AE=DF}\end{array}\right.$，
∴△BAE≌△ADF，
∴∠ABE=∠DAF，
∵∠ABE+∠AEB=90°，
∴∠DAF+∠AEB=90°，
∴∠AGE=∠BGM=90°，
在△ADF和△MCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ADF=∠MCF=90°}\\{DF=FC}\\{∠AFD=∠MFC}\end{array}\right.$，
∴△ADF≌△MCF，
∴AD=CM=BC，
在Rt△BGM中，∵BC=CM，
∴CG=CB=CM，
∴GC=BC．

點(diǎn)評(píng) 本題考查正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形斜邊中線的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，注意AF與BE垂直這個(gè)結(jié)論的應(yīng)用和證明，屬于中考�？碱}型．