Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線y=ax²+bx的對(duì)稱軸為x=，且經(jīng)過點(diǎn)A（2，1），點(diǎn)P是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，P的橫坐標(biāo)為m（0＜m＜2），過點(diǎn)P作PB⊥x軸，垂足為B，PB交OA于點(diǎn)C，點(diǎn)O關(guān)于直線PB的對(duì)稱點(diǎn)為D，連接CD，AD，過點(diǎn)A作AE⊥x軸，垂足為E．

（1）求拋物線的解析式；

（2）填空：

①用含m的式子表示點(diǎn)C，D的坐標(biāo)：

C（　 　，　 　），D（　 　，　 　）；

②當(dāng)m=　 　時(shí)，△ACD的周長(zhǎng)最��；

（3）若△ACD為等腰三角形，求出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

    解：（1）依題意，得，解得

∴y=x²﹣x

（2）C（m，m），D（2m，0），m=1

（3）依題意，得B（m，0）

在RT△OBC中，OC²=OB²+BC²=m²+=m²，

∴OC=m  又∵O，D關(guān)于直線PC對(duì)稱，

∴CD=OC=m

在RT△AOE中，OA===

∴AC=OA﹣OC=﹣m

在RT△ADE中，AD²=AE²+DE²=1²+（2﹣2m）²=4m²﹣8m+5

分三種情況討論：

①若AC=CD，即﹣m=m，解得m=1，∴P（1，）

②若AC=AD，則有AC²=AD²，即5﹣5m+m²=4m²﹣8m+5

解得m₁=0，m₂=．∵0＜m＜2，∴m=，∴P（，）

③若DA=DC，則有DA²=DC²，即4m²﹣8m+5=m²

解得m₁=，m₂=2，∵，0＜m＜2，∴m=，∴P（，）

綜上所述，當(dāng)△ACD為等腰三角形是，點(diǎn)P的坐標(biāo)分別為P₁（1，），P₂（，），P₃（，）．