Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，D是BC上的點．求證：BD2+CD2=2AD2．

Answer 1

【答案】證明過程見解析

【解析】

試題分析：作AE⊥BC于E，由于∠BAC=90°，AB=AC，所以BE=CE，要證明BD2+CD2=2AD2，只需找出BD、CD、AD三者之間的關系即可，由勾股定理可得出AD2=AE2+ED2，AE2=AB2﹣BE2=AC2﹣CE2，ED=BD﹣BE=CE﹣CD，代入求出三者之間的關系即可得證．

試題解析：作AE⊥BC于E，如上圖所示： 由題意得：ED=BD﹣BE=CE﹣CD，

∵在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC， ∴BE=CE=BC， 由勾股定理可得：

AB2+AC2=BC2， AE2=AB2﹣BE2=AC2﹣CE2， AD2=AE2+ED2，

∴2AD2=2AE2+2ED2=AB2﹣BE2+（BD﹣BE）2+AC2﹣CE2+（CE﹣CD）2

=AB2+AC2+BD2+CD2﹣2BD×BE﹣2CD×CE =AB2+AC2+BD2+CD2﹣2×BC×BC

=BD2+CD2， 即：BD2+CD2=2AD2．