Question

圖中的三塊陰影部分由兩個半徑為1的圓及其外公切線分割而成，如果中間一塊陰影的面積等于上下兩塊面積之和，則這兩圓的公共弦長是（　�。�

• A、

  5

  2

• B、

  6

  2

• C、

  1

  2

  25-π2

• D、

  1

  2

  16-π2

Answer 1

分析：由題意得到四邊形ABCD為矩形，BC=2，再根據(jù)中間一塊陰影的面積等于上下兩塊面積之和，得到BC•AB-（S_半圓AD+S_半圓BC-S）=S，即2AB-π•1²+S=S，可求出AB=

π

2

，則OP=

1

2

AB=

π

4

，在Rt△OEP中，利用勾股定理可計算出EP，即可得到兩圓的公共弦長EF．

解答：解：∵AB，CD為兩等圓的公切線，
∴四邊形ABCD為矩形，BC=2，
設(shè)中間一塊陰影的面積為S，
∵中間一塊陰影的面積等于上下兩塊面積之和，
∴BC•AB-（S_半圓AD+S_半圓BC-S）=S，即2AB-π•1²+S=S，
∴AB=

π

2

．
如圖，EF為公共弦，PO⊥EF，
OP=

1

2

AB=

π

4

，
∴EP=

OE2-OP2

=

12-( π 4 )2

=

16-π2

4

，
∴EF=2EP=

16-π2

2

．
故選D．

點(diǎn)評：本題考查了垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的弧．也考查了勾股定理．