Question

5．如圖，在正方形ABCD中，△AEF的頂點E，F(xiàn)分別在BC、CD邊上，高AG與正方形的邊長相等，且∠EAF=45°，連BD分別交AE、AF于點M、N，若EG=4，GF=6，BM=3$\sqrt{2}$，則MN的長為5$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 連接GM，GN，由AG=AB=AD，利用“HL”證明△AGE≌△ABE，△AGF≌△ADF，從而有BE=EG=4，DF=FG=6，設(shè)正方形的邊長為a，在Rt△CEF中，利用勾股定理求a的值，再利用勾股定理求正方形對角線BD的長，再證明△ABM≌△AGM，△ADN≌△AGN，得出MG=BM，NG=ND，∠MGN=∠MGA+∠NGA=∠MBA+∠NDA=90°，在Rt△GMN中，利用勾股定理求MN的值．

解答 解：如圖，連接GM，GN，
在Rt△AGF與Rt△ADF中，$\left\{\begin{array}{l}{AG=AB}\\{AE=AE}\end{array}\right.$，
∴△AGE≌△ABE，
同理可證△AGF≌△ADF，
∴BE=EG=4，DF=FG=6，
設(shè)正方形的邊長為a，在Rt△CEF中，CE=a-4，CF=a-6，
由勾股定理，得CE²+CF²=EF²，即（a-4）²+（a-6）²=10²，
解得a=12或-2（舍去負(fù)值），
∴BD=12$\sqrt{2}$，
在Rt△ABM與Rt△AGM中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=AG}\\{AE=AE}\end{array}\right.$，
∴△ABM≌△AGM，同理△ADN≌△AGN，
∴MG=BM=3$\sqrt{2}$，NG=ND=12$\sqrt{2}$-3$\sqrt{2}$-MN=9$\sqrt{2}$-MN，
∠MGN=∠MGA+∠NGA=∠MBA+∠NDA=90°，
在Rt△GMN中，由勾股定理，得MG²+NG²=MN²，
即（3$\sqrt{2}$）²+（9$\sqrt{2}$-MN）²=MN²，
解得MN=5$\sqrt{2}$．
故答案為：5$\sqrt{2}$．

點評 本題考查了正方形的性質(zhì)，勾股定理的運用．關(guān)鍵是通過作輔助線，利用圖形的對稱性證明三角形全等，利用勾股定理進(jìn)行相關(guān)計算．