Question

如圖，△ABC與△BDE均為等腰直角三角形，BA⊥AC，DE⊥BD，點D在AB邊上，連結EC，取EC中點F，求證：
（1）AF=DF；
（2）AF⊥DF．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質,等腰直角三角形

專題：證明題

分析：（1）連接BF，延長DF交AC于點G，利用等腰三角形的性質得到∠DEF=∠DBF，可證得DG∥BC，得出△ADG為等腰在角形，再證明△DEF≌△GFC，得到DF=FG，可得到結論；
（2）由（1）結合F為DG中點，可得到AF=DF=FG．

解答：證明：（1）連接BF，延長DF交AC于點G，
∵∠EBD=∠ABC=45°，
∴∠EBC=90°，
在RT△EBC中，F(xiàn)為斜邊中點，
∴BF=EF，
∴∠FBC=∠FCB，
∴∠DFE=∠DFB，
∵∠EFB=∠FBC+∠FCB，
∴∠DFE+∠DFB=∠FBC+∠FCB，
∴2∠DFB=2∠FBC，
則∠DFB=∠FBC，
∴DG∥BC，
∵△BAC為等腰直角三角形，且DG∥BC，AB=AC，
∴AD=AG，BD=CG，
∵BD=DE，
∴DE=CG，
∵∠BDE=∠CAB=90°，
∴DE∥AC，
∴∠DEF=∠GCF，
在△DEF和△GCF中，

EF=CF ∠DEF=∠GCF DE=CG

∴△DEF≌△GCF（SAS），
∴DF=FG，
∵△DAG為等腰直角三角形，
∴AF⊥DG；
（2）∵F為DG中點，
∴在RT△DAG中，AF=DF．

點評：本題主要考查三角形全等的判定和性質，證得△ADG為等腰三角形是解題的關鍵．