Question

2．如圖①，已知射線AB、CD，且AB∥CD．
（1）如圖②，若E為平面內(nèi)一點(diǎn)，探究∠A、∠C、∠AEC之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．
（2）若E為平面內(nèi)任意一點(diǎn)，請(qǐng)依據(jù)點(diǎn)E的不同位置分別畫出示意圖探究∠A、∠C、∠AEC之間的數(shù)量關(guān)系，并直接寫出結(jié)論．（注：∠A、∠C、∠AEC均為銳角或鈍角）

Answer 1

分析 （1）過點(diǎn)E作直線l∥AB，根據(jù)平行線的性質(zhì)，可得∠A=∠1，∠C=∠2，進(jìn)而得到∠A+∠C=∠AEC．
（2）依據(jù)點(diǎn)E的不同位置分別畫出示意圖，再作平行線，根據(jù)平行線的性質(zhì)進(jìn)行推導(dǎo)即可得到∠A、∠C、∠AEC之間的數(shù)量關(guān)系．

解答 解：（1）∠A+∠C=∠AEC．
證明：如圖，過點(diǎn)E作直線l∥AB，

∵AB∥CD，l∥AB，
∴l(xiāng)∥CD，
∴∠A=∠1，∠C=∠2．
∴∠A+∠C=∠1+∠2，
即∠A+∠C=∠AEC．

（2）∵E為平面內(nèi)任意一點(diǎn)，
∴需要分類討論．
①如圖：∠A+∠C=∠AEC，
過點(diǎn)E作直線l∥AB，

∵AB∥l，CD∥l，
∴∠A=∠1，∠C=∠2，
∴∠A+∠C=∠1+∠2=∠AEC．
②如圖：∠A+∠AEC=∠C，
過點(diǎn)E作直線l∥AB，

∵AB∥CD，l∥AB，
∴l(xiāng)∥CD，
∴∠A+∠AEH=180°，∠C=∠CEH=180°．
又∵∠AEH=∠AEC+∠CEH，
∴∠A+∠AEC=∠C．
③如圖：∠C+∠AEC=∠A，
過點(diǎn)E作直線l∥AB，

∵AB∥CD，l∥AB，
∴l(xiāng)∥CD，
∴∠C+∠HEC=180°，∠HEA+∠EAB=180°．
∵∠HEA+∠HEA+∠AEC，
∴∠C+∠AEC=∠A．
④如圖：同理可得：∠A+∠AEC=∠C，

⑤如圖，∠C+∠AEC=∠A，
過點(diǎn)E作直線l∥AB，

∵AB∥CD，l∥AB，
∴l(xiāng)∥CD，
∴∠A+∠AEH=180°．
∵∠C+∠CEH=180°，∠CEH=∠AEH+∠AEC，
∴∠C+∠AEC=∠A．
⑥如圖，∠A+∠AEC+∠C=360°．

過E作EH∥AB，
∵AB∥CD，
∴EH∥CD，
∴∠A+∠AEH=180°，∠C+∠CEH=180°，
∴∠A+∠AEH+∠CEH+∠C=360°，
即∠A+∠AEC+∠C=360°．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了平行線的性質(zhì)的運(yùn)用，解題時(shí)注意：兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)．