Question

12．如圖，在等腰直角△ABC中，BC=AC，∠ACB=90°，∠MCN的兩邊與邊AB交于M，N兩點(diǎn)，且∠MCN=45°，給出以下四個(gè)結(jié)論：①AB=$\sqrt{2}$AC；②△AMC∽△BNC；③若T是MN的中點(diǎn)，則CM²+TN²=MT²+NC²；④S_△CAM+S_△CBN=S_△CMN．其中正確的結(jié)論有①③．（填上你認(rèn)為所有正確結(jié)論的序號(hào)）

Answer 1

分析 此題要根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求解，由于△ABC是等腰三角形，顯然①的結(jié)論是成立的；②題中，通過已知條件只能得到一對(duì)角相等，故不能判定兩三角形相似，②的結(jié)論是不成立的；③可連接CT，利用勾股定理求證；④分別表示出三個(gè)三角形的面積，然后判斷它們是否符合題目給出的等量關(guān)系即可．

解答 解：①∵△ABC是等腰三角形，∴AB=$\sqrt{2}$AC，故①正確；
②∵BC=AC，∠ACB=90°
∴∠A=∠B=45°，
∵∠MCN=45°，
∴∠ACM+∠BCN=45°，
而∠ACM≠∠BCN，
∴△ACM與△MCN不一定相似，故②錯(cuò)誤；
③連接CT；
由勾股定理得：CM²-MT²=CT²，NC²-NT²=CT²，
聯(lián)立兩式可得：CM²-MT²=NC²-NT²，即CM²+TN²=NC²+MT²；
故③正確；
④S_△ACM=$\frac{1}{2}$AM•CT，S_△BNC=$\frac{1}{2}$BN•CT，S_△MNC=$\frac{1}{2}$MN•CT，
∵AM+BN≠M(fèi)N，∴S_△ACM+S_△BCN≠S_△MNC，
故④錯(cuò)誤；
故答案為：①③．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)、勾股定理以及相似三角形判定和性質(zhì)，牢固掌握定理是解題的關(guān)鍵．