Question

16．若函數(shù)y=mx²-2x+1與x軸正半軸有且只有一個交點，則實數(shù)m的取值范圍為m≤0或m=1．

Answer 1

分析 分類討論：當(dāng)m=0時，函數(shù)為一次函數(shù)y=-2x+1，直線y=-2x+1與x軸的正半軸交于點（$\frac{1}{2}$，0）；當(dāng)m≠0時，函數(shù)為二次函數(shù)，若△=（-2）²-4m=0，解得m=1，此時拋物線的頂點坐標(biāo)為（1，0），若m＜0，可判斷拋物線與x軸有兩個交點，而拋物線的對稱軸在y軸左側(cè)，則可判斷拋物線與x軸正半軸有且只有一個交點．

解答 解：當(dāng)m=0時，函數(shù)化為y=-2x+1，當(dāng)y=0時，-2x+1=0，解得x=$\frac{1}{2}$，則直線y=-2x+1與x軸的正半軸交于點（$\frac{1}{2}$，0）；
當(dāng)m≠0時，若△=（-2）²-4m=0，解得m=1，此時拋物線解析式為y=x²-2x+1=（x-1）²，拋物線的頂點坐標(biāo)為（1，0），
若m＜0，△=（-2）²-4m＞0，拋物線與x軸有兩個交點，而拋物線的對稱軸為直線x=-$\frac{-2}{2m}$=$\frac{1}{m}$＜0，所以拋物線與x軸正半軸有且只有一個交點，
綜上所述，m的取值范圍為m≤0或m=1．
故答案為m≤0或m=1．

點評 本題考查了拋物線與x軸的交點：把求二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）與x軸的交點坐標(biāo)問題轉(zhuǎn)化為解關(guān)于x的一元二次方程．對于二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0），△=b²-4ac決定拋物線與x軸的交點個數(shù)：△=b²-4ac＞0時，拋物線與x軸有2個交點；△=b²-4ac=0時，拋物線與x軸有1個交點；△=b²-4ac＜0時，拋物線與x軸沒有交點．也考查了分類討論思想的運用．