Question

在直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=-

1

2

x²+

3m

2

^x+n-5的圖象與x軸交于點(diǎn)A、B，與y軸交于點(diǎn)C，其中點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊，若∠ACB=90°，OC＞OA且

OC

OA

+

OC

OB

=

2

5

．
（1）求△ABC的面積及這個(gè)二次函數(shù)的具體表達(dá)式；
（2）試設(shè)計(jì)滿足下述條件的一個(gè)方案（說明理由）：保持圖象的形狀大小不變，使以圖象與坐標(biāo)軸的3個(gè)交點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形的面積是△ABC的面積的一半．

Answer 1

分析：（1）設(shè)出ABC三點(diǎn)的坐標(biāo)，用n表示出ab，c；由勾股定理可得答案；
（2）保持圖象的張口和頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，保持圖象的對(duì)稱軸與y軸平行，平移圖象，使圖象與y軸的交點(diǎn)C′坐標(biāo)為（0，1），則這個(gè)圖象為所求．

解答：解：
（1）設(shè)點(diǎn)A（a，0），B（b，0），C（0，c）其中（a＜0，b＞0，c＞0），
由條件得，c=n-5，ab=-2（n-5）．
在Rt△ABC中，∵CO⊥AB，有

CO

AO

=

BO

CO

，
∴CO²=AO•BO，
∴（n-5）²=-ab，
故（n-5）²=2（n-5），
解得n=7或n=5（舍去），
從而c=2，
因?yàn)?span id="hwxi4nh" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">

CO

AO

+

CO

BO

=

2

5

，

CO

AO

=

BO

CO

，
于是，

2

-a

+

-a

2

=

2

5

，
解得a=-1或a=-4，
因OC＞OA，
故舍去a=-4，
由a=-1，求得b=4，
故S_△ABC=

1

2

•OC•AB=5，
又因?yàn)辄c(diǎn)A（-1，0）在拋物線上，
所以把x=-1，y=0代入y=-

1

2

x²+

3m

2

x+2，得m=1，
所以y=-

1

2

x²+

3

2

x+2；

（2）參考方案：保持圖象的張口和頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，保持圖象的對(duì)稱軸與y軸平行，平移圖象，使圖象與y軸的交點(diǎn)C′坐標(biāo)為（0，1），
則這個(gè)圖象為所求，理由如下：由y=-

1

2

x²+

3

2

x+2=-

1

2

（x-

3

2

）²+

25

8

，
設(shè)移動(dòng)后的拋物線為y=-

1

2

（x-k）²+

25

8

，則這圖象的形式、大小保持不變，
又設(shè)這圖象過點(diǎn)C′（0，1），把x=0，y=1代入上式，
求得k=±

17

2

，
所求的拋物線為y=-

1

2

（x-

17

2

）²+

25

8

①或y=-

1

2

（x+

17

2

）²+

25

8

②
設(shè)①與x軸的交點(diǎn)為A′，B′，其橫坐標(biāo)分別為x₁，x₂（x₁≤x₂），
則x₁，x₂為方程-

1

2

（x-

17

2

）²⁺

25

8

=0的兩根，
解這個(gè)方程得x₁=

17

2

-

5

2

，x₂=

17

2

+

5

2

，
∴|x₁-x₂|=5，所以A′B′=5，
∴S_{△A′B′C′}=

1

2

S_△ABC，同理對(duì)于②也成立．

點(diǎn)評(píng)：本題考查學(xué)生將二次函數(shù)的圖象與解析式相結(jié)合處理問題、解決問題的能力．