Question

17．閱讀下面的材料：在平面幾何中，我們學(xué)過兩條直線互相垂直的定義，下面就兩個(gè)一次函數(shù)的圖象所確定的兩條直線，給出它們相互垂直的定義：設(shè)一次函數(shù)y=k₁x+b₁（k₁≠0）的直線為l₁，一次函數(shù)y=k₂x+b₂（k₂≠0）的圖象為直線l₂．若k₁•k₂=-1，我們就稱直線l₁與直線l₂相互垂直，現(xiàn)請解答下面的問題：已知直線l與直線y=-$\frac{1}{2}$x-1互相垂直，且直線l的圖象過點(diǎn)P（-1，4），且直線l分別與y軸、x軸交于A、B兩點(diǎn)．
（1）求直線l的函數(shù)表達(dá)式；
（2）若點(diǎn)C是線段AB上一動(dòng)點(diǎn)，求線段OC長度的最小值；
（3）若點(diǎn)Q是AO上的一動(dòng)點(diǎn)，求△BPQ周長的最小值，并求出此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)；
（4）在（3）的條件下，若點(diǎn)P關(guān)于BQ的對稱點(diǎn)為P′，請求出四邊形ABOP′的面積．

Answer 1

分析 （1）設(shè)直線l的解析式為y=kx+b，由垂直的定義可求得直線l中的k，再把P點(diǎn)坐標(biāo)代入可求得b，可求得直線l的解析式；
（2）過O作OC⊥AB，此時(shí)OC最小，可先求得BC長，再利用面積相等可求得OC的長；
（3）可求得點(diǎn)P關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)P″，連接BP″交y軸于點(diǎn)Q，則Q點(diǎn)即為所求，可求得直線BP″解析式，則可求得Q點(diǎn)坐標(biāo)；
（4）由對稱可求得P′點(diǎn)的坐標(biāo)，可分別求得△AOB和△AOP′的面積，可求得四邊形ABOP′的面積．

解答 解：
（1）設(shè)直線l的解析式為y=kx+b，
∵直線l與直線y=-$\frac{1}{2}$x-1互相垂直，
∴-$\frac{1}{2}$k=-1，解得k=2，
∵直線l的圖象過點(diǎn)P（-1，4），
∴-k+b=4，即-2+b=4，解得b=6，
∴直線l的解析式為y=2x+6；
（2）如圖1，過O作OC⊥AB于點(diǎn)C，
此時(shí)線段OC的長度最小，

在y=2x+6中，令x=0可得y=6，令y=0可求得x=-3，
∴A（0，6），B（-3，0），
∴OA=6，OB=3
∴AB=$\sqrt{{6}^{2}+{3}^{2}}$=3$\sqrt{5}$，
∵$\frac{1}{2}$AB•OC=$\frac{1}{2}$OA•OB，
∴3$\sqrt{5}$OC=3×6，
∴OC=$\frac{6\sqrt{5}}{5}$，
即線段OC長度的最小值為$\frac{6\sqrt{5}}{5}$；
（3）如圖2，作點(diǎn)P關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)P″，連接BP″交y軸于點(diǎn)Q，過P″作P″G⊥x軸于點(diǎn)G，

則PQ=P″Q，
∴PQ+BQ=BQ+QP″，
∵點(diǎn)B、Q、P″三點(diǎn)在一條線上，
∴BQ+PQ最小，
∵P（-1，4），
∴P″（1，4），
∴P″G=4，OG=1，
∴BG=BO+OG=4=P″G，
∴∠OBQ=45°，BP″=4$\sqrt{2}$，
∴OQ=BO=3，
∴Q點(diǎn)坐標(biāo)為（0，3），
又BP=$\sqrt{（3-1）^{2}+{4}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
此時(shí)△BPQ的周長=BP+BP″=4$\sqrt{2}$+2$\sqrt{5}$；
（4）由（3）可知∠OBQ=∠OQB=45°，
∴∠PQA=∠P″QA=45°，
∴PQ⊥BQ，
如圖3，延長PQ到點(diǎn)P′，使PQ=P′Q，則P′即為點(diǎn)P關(guān)于BQ的對稱點(diǎn)，過P′作P′H⊥y軸于點(diǎn)H，

由（3）可知PQ=QP′=$\sqrt{2}$，
∴QH=HP′=1，
∴OH=OQ-QH=3-1=2，
∴S_{四邊形ABOP′}=S_△AOB+S_△AOP′=$\frac{1}{2}$×6×3+$\frac{1}{2}$×6×1=12，
即四邊形ABOP′的面積為12．

點(diǎn)評 本題為一次函數(shù)綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法、勾股定理、軸對稱、等腰直角三角形及三角形的面積等知識(shí)點(diǎn)．在（1）中利用好題目中所給的定義是解題的關(guān)鍵，在（2）中利用垂線段最短確定出點(diǎn)C的位置是解題的關(guān)鍵，在（3）中利用對稱確定出Q點(diǎn)的位置是解題的關(guān)鍵，在（4）中求得P′的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．本題考查知識(shí)點(diǎn)較多，綜合性較強(qiáng)，難度適中．