Question

若拋物線y=x²+2mx+2m-

5

4

（m＞0）與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)在（1，0）兩邊，則關(guān)于x的方程x²+（2m-1）x+

1

8

=0的根的情況是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：拋物線與x軸的交點(diǎn),根的判別式

專題：

分析：因?yàn)閽佄锞�y=x²+2mx+m-7與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)在（1，0）兩旁，由此求出m取值范圍，進(jìn)而由方程x²+（2m-1）x+

1

8

=0的“△”確定根的情況．

解答：解：∵拋物線y=x²+2mx+2m-

5

4

與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)在（1，0）兩旁，
∴關(guān)于x的方程y=x²+2mx+2m-

5

4

，有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
∴△=b²-4ac＞0，
即：（2m）²-4（2m-

5

4

）=4（m-1）²+1＞0，
∴m為任意實(shí)數(shù)①
設(shè)拋物線y=x²+2mx+2m-

5

4

與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（α，0）、（β，0），且α＜β
∴α、β是關(guān)于x的方程x²+2mx+2m-

5

4

=0的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
由根與系數(shù)關(guān)系得：α+β=-2m，αβ=2m-

5

4

，
∵拋物線y=x²+2mx+2m-

5

4

與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)分別位于點(diǎn)（1，0）的兩旁
∴α＜1，β＞1
∴（α-1）（β-1）＜0
∴αβ-（α+β）+1＜0
∴（2m-

5

4

）+2m+1＜0
解得：m＜

1

16

②，
∵m＞0，
∴0＜m＜

1

16

，
由①、②得m的取值范圍是0＜m＜

1

16

；
∵方程x²+（2m-1）x+

1

8

=0的根的判別式為：
（2m-1）²-4×

1

8

，
=（2m-1）²-

1

2

，
∵0＜m＜

1

16

，
∴（2m-1）²-

1

2

＞0，
∴方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．
故答案為：方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)問(wèn)題，注：當(dāng)拋物線y=ax²+bx+c與軸有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，一元二次方程ax²+bx+c=0有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根即△＞0；當(dāng)拋物線y=ax²+bx+c與軸有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，一元二次方程ax²+bx+c=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根即△=0；當(dāng)拋物線y=ax²+bx+c與軸無(wú)交點(diǎn)時(shí)，一元二次方程ax²+bx+c=0無(wú)實(shí)數(shù)根即△＜0．