Question

如圖所示，在矩形ABCD中，AB＝12 cm，BC＝6 cm，點P沿AB邊從點A開始向點B以2cm/s的速度移動.點Q沿DA邊從點D開始向點A以1 cm/s的速度移動.如果P，Q同時出發(fā)，用t(s)表示移動的時間(0≤t≤6)，那么： (1) 當(dāng)t為何值時，QAP為等腰直角三角形？ (2) 求四邊形QAPC的面積，提出一個與計算結(jié)果有關(guān)的結(jié)論. (3) 當(dāng)t為何值時，以點Q，A，P為頂點的三角形與△ABC相似？

Answer 1

答案：
解析：

(1)	解：對于任何時刻，AP＝2 t，DQ＝t，QA＝6－t，當(dāng)QA＝AP時，△QAP為等腰直角三角形，即6－t＝2 t，t＝2(s)，所以當(dāng)t＝2 s時，△QAP為等腰直角三角形． 　　解題指導(dǎo)：用代數(shù)方法解決幾何問題，首先用t的代數(shù)式表示力中線段的長度.當(dāng)AQ＝AP，即6－t＝2 t時，△QAP為等腰三角形
(2)	方法一：在△QAC中，QA＝6－t，QA邊上的高DC＝12，所以S△QAC＝QA·DC＝(6－t)×12＝36－6t在△APC中，AP＝2t，BC＝6，所以S△APC＝·AP·BC＝6t，所以四邊形QAPC的面積為36－6t＋6t＝36(cm)2.由計算結(jié)果發(fā)現(xiàn)，在P，Q兩點移動的過程中，四邊形QAPC的面積始終保持不變。 　　方法二：用矩形ABCD的面積減去△QDC和△BPC的面積，同樣能得到這個結(jié)論 　　解題指導(dǎo)：用代數(shù)方法解決幾何問題，首先用t的代數(shù)式表示力中線段的長度.運用取和、差的方法，計算四邊形QAPC的面積，發(fā)現(xiàn)規(guī)律、結(jié)論
(3)	根據(jù)題意，可分兩種情況來討論.在矩形ABCD中，①當(dāng)時，△QAP∽△ABC，有，解得t＝1.2(s)，即當(dāng)t＝1.2s時，△QAP∽△ABC；②當(dāng)時，△PAQ∽△ABC，有，解得t＝3(s)，即當(dāng)t＝3s時.△PAQ∽△ABC.所以t＝1.2 s或，t＝3 s時，以點Q，A，P為頂點的三角形與△ABC相似 　　解題指導(dǎo)：用代數(shù)方法解決幾何問題，首先用t的代數(shù)式表示力中線段的長度.以點Q，A，P為頂點的三角形與△ABC相似的對應(yīng)頂點沒有確定，因此要展開討論．