Question

如圖，△OAB中，OA=OB=5，∠AOB=80°，以點O為圓心，3為半徑的優(yōu)弧

MN

分別交OA，OB于點M，N．
（1）點P在右半弧上（∠BOP是銳角），將OP繞點O逆時針旋轉80°得OP′．求證：AP=BP′；
（2）點T在左半弧上，若AT與弧相切，求點T到OA的距離；
（3）設點Q在優(yōu)弧

MN

上，當△AOQ的面積最大時，直接寫出∠BOQ的度數(shù)．

Answer 1

考點：圓的綜合題

專題：

分析：（1）首先根據(jù)已知得出∠AOP=∠BOP′，進而得出△AOP≌△BOP′，即可得出答案；
（2）利用切線的性質(zhì)得出∠ATO=90°，再利用勾股定理求出AT的長，進而得出TH的長即可得出答案；
（3）當OQ⊥OA時，△AOQ面積最大，且左右兩半弧上各存在一點分別求出即可．

解答：（1）證明：如圖1，∵∠AOP=∠AOB+∠BOP=80°+∠BOP，
∠BOP′=∠POP′+∠BOP=80°+∠BOP，
∴∠AOP=∠BOP′，
∵在△AOP和△BOP′中

OA=OB ∠AOP=∠BOP′ OP=OP′

∴△AOP≌△BOP′（SAS），
∴AP=BP′；

（2）解：如圖1，連接OT，過點T作TH⊥OA于點H，
∵AT與

MN

相切，
∴∠ATO=90°，
∴AT=

OA2-OT2

=

102-62

=8，
∵

1

2

×OA×TH=

1

2

×AT×OT，
即

1

2

×10×TH=

1

2

×8×6，
解得：TH=

24

5

，即點T到OA的距離為

24

5

；

（3）解：如圖2，當OQ⊥OA時，△AOQ的面積最大；
理由：∵OQ⊥OA，
∴QO是△AOQ中最長的高，則△AOQ的面積最大，
∴∠BOQ=∠AOQ+∠AOB=90°+80°=170°，
當Q點在優(yōu)弧

MN

右側上，
∵OQ⊥OA，
∴QO是△AOQ中最長的高，則△AOQ的面積最大，
∴∠BOQ=∠AOQ-∠AOB=90°-80°=10°，
綜上所述：當∠BOQ的度數(shù)為10°或170°時，△AOQ的面積最大．

點評：此題主要考查了圓的綜合應用以及切線的判定與性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)等知識，根據(jù)數(shù)形結合進行分類討論得出是解題關鍵．