Question

如圖，已知正方形ABCD的邊長為2，E是AB的中點，F是ED上任意一點，過F作ED的垂線，交AD于G，交BC的延長線于H，則線段GH的長為

 

．

Answer 1

分析：首先過點G作GK⊥BC于K，易得四邊形ABKG是矩形，然后根據AAS可證得△AED≌△KHG，根據全等三角形的對應邊相等，求得DE=GH，又由正方形ABCD的邊長為2，E是AB的中點，根據勾股定理即可求得DE的長，則可求得線段GH的長．

解答：解：過點G作GK⊥BC于K，
∴∠GKB=∠GKH=90°，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠A=∠B=90°，AB=AD=2，AD∥BC，
∴四邊形ABKG是矩形，∠A=∠GKH=90°，
∴AB=GK，
∴AD=GK=2，
∵GH⊥DE，
∴∠FGD+∠FDG=90°，
∵∠AED+∠ADE=90°，
∴∠AED=∠FGD，
∵AD∥BC，
∴∠H=∠FGD，
∴∠H=∠AED，
在△AED和△KHG中，

∠A=∠GKH=90° ∠AED=∠H AD=KG

，
∴△AED≌△KHG（AAS），
∴GH=AD，
∵E是AB的中點，
∴AE=

1

2

AB=1，
∴GH=DE=

AE2+AD2

=

5

．
故答案為：

5

．

點評：此題考查了正方形的性質，矩形的判定與性質，全等三角形的判定與性質以及勾股定理等知識．此題綜合性較強，難度適中，解題的關鍵是注意數形結合思想的應用，注意輔助線的作法．