Question

已知線段OA⊥OB，C為OB上中點(diǎn)，D為AO上一點(diǎn)，連AC、BD交于P點(diǎn)．
（1）如圖1，當(dāng)OA=OB且D為AO中點(diǎn)時(shí)，求

AP

PC

的值；
（2）如圖2，當(dāng)OA=OB，

AD

AO

=

1

4

時(shí)，求△BPC與△ACO的面積之比．

Answer 1

分析：（1）首先過(guò)C作CE∥OA交BD于E，可得△BCE∽△BOD，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例可得CE=

1

2

OD=

1

2

AD，再由△ECP∽△DAP，即可求得答案；
（2）首先過(guò)C作CE∥OA交BD于E，過(guò)P作PF⊥OB交OB于F，然后設(shè)AD=x，AO=OB=4x，則OD=3x，由△BCE∽△BOD得CE=

1

2

OD=

3

2

x，再由△ECP∽△DAP得

PD

PE

=

AD

CE

=

2

3

；
又由勾股定理可知BD=5x，DE=

5

2

x，則可求得PF=

12

5

x，S_△BPC=

12

5

x2，而S_△ACO=4x²，繼而求得答案．

解答：解：（1）過(guò)C作CE∥OA交BD于E，
∴△BCE∽△BOD，
∴

CE

OD

=

BC

BO

，
∵C為OB上中點(diǎn)，
∴CE=

1

2

OD，
∵D為AO中點(diǎn)，
∴CE=

1

2

AD，
∵△ECP∽△DAP，
∴

AP

PC

=

AD

CE

=2；

（2）過(guò)C作CE∥OA交BD于E，過(guò)P作PF⊥OB交OB于F，
設(shè)AD=x，
∵

AD

AO

=

1

4

，
∴AO=OB=4x，
∴OD=3x，
∵△BCE∽△BOD，C為OB上中點(diǎn)，
∴CE=

1

2

OD=

3

2

x，
∵△ECP∽△DAP，
∴

PD

PE

=

AD

CE

=

2

3

；
由勾股定理可知BD=5x，DE=

5

2

x，
∴

PD

DE-PD

=

2

3

，
∴PD=AD=x，
∵PF=

12

5

x，S_△BPC=

12

5

x2，
∵S_△ACO=4x²，
∴

S△BPC

S△ACO

=

3

5

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理以及比例的性質(zhì)等知識(shí)．此題難度較大，解題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確作出輔助線，掌握相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例的性質(zhì)的應(yīng)用，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．