Question

15．已知二次函數(shù)y=ax²+bx-$\frac{3}{2}$的圖象與y軸交于點(diǎn)B．
（1）若二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（1，1），
①二次函數(shù)的對(duì)稱軸為直線x=1，求此二次函數(shù)的解析式；
②對(duì)于任意的正數(shù)a，當(dāng)x＞n時(shí)，y隨x的增大而增大，請(qǐng)求出n的取值范圍．
（2）若二次函數(shù)的圖象的對(duì)稱軸為直線x=-1，且直線y=2x-2與直線l也關(guān)于直線x=-1對(duì)稱，且二次函數(shù)的圖象在-5＜x＜-4這一段位于直線l的上方，在1＜x＜2這一段位于直線y=2x-2的下方，求此二次函數(shù)的解析式．

Answer 1

分析 （1）①由題意得出$\left\{\begin{array}{l}{a+b-\frac{3}{2}=1}\\{-\frac{2a}=1}\end{array}\right.$，求得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{5}{2}}\\{b=5}\end{array}\right.$，從而求得二次函數(shù)的解析式；
②由二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（1，1），得出a+b$\frac{3}{2}$=1，進(jìn)而得出b=$\frac{5}{2}$-a，根據(jù)題意對(duì)稱軸x=n=-$\frac{\frac{5}{2}-a}{2a}$=-$\frac{5}{4a}$+$\frac{1}{2}$，由a＞0，則-$\frac{5}{4a}$＜0，即可求得n＜$\frac{1}{2}$；
（2）由題意得出拋物線經(jīng)過（-4，2），代入解析式得出16a-4b-$\frac{3}{2}$=0，根據(jù)對(duì)稱軸x=-1，得出b=2a，代入即可求得a、b的值．

解答 解：（1）①由題意得$\left\{\begin{array}{l}{a+b-\frac{3}{2}=1}\\{-\frac{2a}=1}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{5}{2}}\\{b=5}\end{array}\right.$．
∴此二次函數(shù)的解析式為y=-$\frac{5}{2}$x²+5x-$\frac{3}{2}$；
②∵二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（1，1），
∴a+b$\frac{3}{2}$=1，
∴b=$\frac{5}{2}$-a，
∵當(dāng)x＞n時(shí)，y隨x的增大而增大，
∴對(duì)稱軸x=n=-$\frac{2a}$=-$\frac{\frac{5}{2}-a}{2a}$=-$\frac{5}{4a}$+$\frac{1}{2}$，
∵a＞0，∴-$\frac{5}{4a}$＜0，
∴n≥$\frac{1}{2}$；
（2）由直線y=2x-2可知：直線y=2x-2與直線x=-1的交點(diǎn)為（-1，-4），與x軸的交點(diǎn)為（1，0），
∵直線y=2x-2與直線l也關(guān)于直線x=-1對(duì)稱，
∴直線l與x軸的交點(diǎn)為（-3，0），
∴直線l為：y=-2x-6
由題意：拋物線經(jīng)過（-4，2），
∴16a-4b-$\frac{3}{2}$=2，
∵對(duì)稱軸x=-$\frac{2a}$=-1，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{7}{16}}\\{b=\frac{7}{8}}\end{array}\right.$，
∴此二次函數(shù)的解析式為y=$\frac{7}{16}$x²+$\frac{7}{8}$x-$\frac{3}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)以及待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，根據(jù)題意列出方程組是解題的關(guān)鍵．