Question

如圖，在平面直角坐標系中，點P從點A開始沿x軸向點O以1cm/s的速度移動，點Q從點O開始沿y軸向點B以2cm/s的速度移動，且OA=6cm，OB=12cm．如果P，Q分別從A，O同時出發(fā)．
（1）設(shè)△POQ的面積等于y，運動時間為x，寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系，并求出面積的最大值；
（2）幾秒后△POQ與△AOB相似；
（3）幾秒后以PQ為直徑的圓與直線AB相切．

Answer 1

分析：（1）可根據(jù)P、Q的速度，用時間x表示出OP和OQ的長，根據(jù)三角形的面積公式即可得出y，x的函數(shù)關(guān)系式．根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)可求出y的最大值及對應(yīng)的x的值．
（2）由于∠POQ=∠AOB=90°，因此本題可分兩種情況討論：
①△POQ∽△AOB；②△POQ∽△BOA；可根據(jù)各自對應(yīng)的成比例線段求出x的值．
（3）設(shè)以PQ為直徑的圓與AB的切點為E，根據(jù)切割線定理可得出BE2=BQ•BO，同理AE²=AP•AO，可用x表示出BQ，AP的長．在直角三角形ABO中，（AE+BE）²=AB²，可聯(lián)立上述三個式子，可求出x的值．

解答：解：（1）y=

1

2

（6-x）•2x=-x²+6x=-（x-3）²+9，y的最大值=9cm²．

（2）由于∠POQ=∠AOB=90°，如果△POQ與△AOB相似，無非兩種情況：

OP

OA

=

OQ

OB

或

OP

OB

=

OQ

OA

．
由

2x

12

=

6-x

6

，得x=3；
由

2x

6

=

6-x

12

，得x=

6

5

．
即x=3s或x=

6

5

s．

（3）x=

6

5

s時以PQ為直徑的圓與AB相切．
設(shè)以PQ為直徑的圓與AB的切點為E；
∵BE²=BQ•BO=12（12-2x）
AE²=AP•AO=6x，又（AE+BE）²=OB²+OA²
∴（

12(12-2x)

+

6x

）²=12²+6²，
解之，得x=

6

5

s．

點評：考查二次函數(shù)的相關(guān)知識，考查學生基礎(chǔ)知識的同時還滲透分類思想及識圖能力．和應(yīng)用二次函數(shù)的最值知識及三角形相似和直線與圓相切知識綜合解決問題．