Question

如圖，已知拋物線y=x²-2x+1的頂點為P，A為拋物線與y軸的交點，過A與y軸垂直的直線與拋物線的另一交點為B，與拋物線對稱軸交于點O′，過點B和P的直線l交y軸于點C，連接O′C，將△ACO′沿O′C翻折后，點A落在點D的位置．
（1）求直線l的函數(shù)解析式；
（2）求點D的坐標；
（3）拋物線上是否存在點Q，使得S_△DQC=S_△DPB？若存在，求出所有符合條件的點Q的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）配方，得y=（x-2）²-1，
∴拋物線的對稱軸為直線x=2，頂點為P（2，-1）．
取x=0代入y=x²-2x+1，
得y=1，
∴點A的坐標是（0，1）．
由拋物線的對稱性知，點A（0，1）與點B關于直線x=2對稱，
∴點B的坐標是（4，1）．
設直線l的解析式為y=kx+b（k≠0），將B、P的坐標代入，
有，
解得∴
∴直線l的解析式為y=x-3．

（2）連接AD交O′C于點E，
∵點D由點A沿O′C翻折后得到，
∴O′C垂直平分AD．
由（1）知，點C的坐標為（0，-3），
∴在Rt△AO′C中，O′A=2，AC=4，
∴O′C=2．
據面積關系，有×O′C×AE=×O′A×CA，
∴AE=，AD=2AE=．
作DF⊥AB于F，易證Rt△ADF∽Rt△CO′A，
∴，
∴AF=•AC=，DF=•O′A=，
又∵OA=1，
∴點D的縱坐標為1-=-，
∴點D的坐標為（，-）．

（3）顯然，O′P∥AC，且O′為AB的中點，
∴點P是線段BC的中點，
∴S_△DPC=S_△DPB．
故要使S_△DQC=S_△DPB，只需S_△DQC=S_△DPC．
過P作直線m與CD平行，則直線m上的任意一點與CD構成的三角形的面積都等于S_△DPC，
故m與拋物線的交點即符合條件的Q點．
容易求得過點C（0，-3）、D（，-）的直線的解析式為y=x-3，
據直線m的作法，可以求得直線m的解析式為y=x-．
令x²-2x+1=x-，
解得x₁=2，x₂=，
代入y=x-，得y₁=-1，y₂=，
因此，拋物線上存在兩點Q₁（2，-1）（即點P）和Q₂（，），使得S_△DQC=S_△DPB．
（僅求出一個符合條件的點Q的坐標，扣1分）
分析：（1）根據題意，可以求得點P，A，B，O′的坐標，因為直線l過點B，P，所以利用待定系數(shù)法即可求得；
（2）根據（1）的結果可求得點C的坐標，根據折疊的知識可得：∠CDO′=∠CAO′=90°，O′C是AD的垂直平分線，連接AD，作DF⊥AB于點F，利用相似三角形與直角三角形的性質即可求得；
（3）顯然，O′P∥AC，且O′為AB的中點，
∴點P是線段BC的中點，∴S_△DPC=S_△DPB．
故要使S_△DQC=S_△DPB，只需S_△DQC=S_△DPC．
過P作直線m與CD平行，則直線m上的任意一點與CD構成的三角形的面積都等于S_△DPC，
故m與拋物線的交點即符合條件的Q點．
據直線m的作法，可以求得直線m的解析式為y=x-．根據題意還可求得，拋物線上存在兩點Q₁（2，-1）（即點P）和Q₂（，），使得S_△DQC=S_△DPB．
點評：此題屬于中考中的壓軸題，難度較大，知識點考查的較多而且聯(lián)系密切，需要學生認真審題．
此題考查了二次函數(shù)與一次函數(shù)，折疊問題的綜合應用，解題的關鍵是要注意數(shù)形結合思想的應用．