Question

如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，AD=3cm，DC=15cm，BC=24cm．點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，沿A→D→C方向以1cm/s的速度勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q從C點(diǎn)出發(fā)，沿C→B方向以2cm/s的速度勻速運(yùn)動(dòng)．當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)．
（1）連接AP、AQ、PQ，設(shè)△APQ的面積為S（cm²），點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（s），求S與t的函數(shù)關(guān)系式；
（2）當(dāng)t為何值時(shí)，△APQ的面積最大，最大值是多少？
（3）△APQ能成為直角三角形嗎？如果能，直接寫(xiě)出t的值；如果不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）分點(diǎn)P在線(xiàn)段AD上和點(diǎn)P在線(xiàn)段CD上兩種情況列出關(guān)系式即可；
（2）根據(jù)得到的拋物線(xiàn)的開(kāi)口向上，對(duì)稱(chēng)軸的右側(cè)s隨t的增大而增大可以得到最大值；
（3）分點(diǎn)P在線(xiàn)段AD上和點(diǎn)P在線(xiàn)段DC上利用相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比相等即可列出方程求得t值．
解答：解：（1）當(dāng)點(diǎn)P在線(xiàn)段AD上時(shí)，
∵AP=tcm，AP邊上的高為DC的長(zhǎng)，為15cm，
∴S=AP•DC=×t×15=（0≤t≤3）；
當(dāng)點(diǎn)P在線(xiàn)段CD上時(shí)，如圖1，
PD=（t-3）cm，DC=15-（t-3）=（18-t）cm，CQ=2tcm，
∴S=S_梯形ADCQ-S_△ADP-S_△PQC=[（AD+CQ）•DC-AD•DP-PC•CQ]
=[（3+2t）×15-3×（t-3）-（18-t）×2t]
=t²-t+27（3≤t≤12）

（2）∵S=t²-t+27的圖象開(kāi)口向上，對(duì)稱(chēng)軸為t=，
∴當(dāng)＜t≤12時(shí)s隨t的增大而增加，
∴當(dāng)t=12時(shí)取得最大值，
最大值為：s=12²-×12+27=117cm²

（3）當(dāng)點(diǎn)p在AD上QP⊥AD時(shí)，如圖2，作AE⊥BC于E點(diǎn)，則AP=tcm，CQ=2tcm，
EQ=3-2t，
此時(shí)AP=EQ，即t=3-2t，
解得t=1；
當(dāng)點(diǎn)P在線(xiàn)段DC上時(shí)，如圖3，
若∠APQ=90°，
∴∠APD+∠QPC=90°
∴∠APD=∠PQC
∴△APD∽△PQC
∴即：
解得：t=9或t=6；
∴當(dāng)t=1或t=9時(shí)△APQ能成為直角三角形．
若∠PAQ=90°，如圖4：

此時(shí)PC=CD-PD=15-（t-3）=18-t，CQ=2t，
則AQ²=（2t-3）²+15²，AP²=3²+（t-3）²，PQ²=（2t）²+（18-t）²，
利用勾股定理可得：AQ²+AP²=PQ²，
即（2t-3）²+15²+3²+（t-3）²=（2t）²+（18-t）²，
解得：t=4；
綜上可得當(dāng)t=1、4、6、9時(shí)△APQ是直角三角形．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了相似形的綜合知識(shí)，題目中用二次函數(shù)知識(shí)解決幾何圖形中面積最大問(wèn)題和動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題是中考的熱點(diǎn)考題，需重點(diǎn)掌握．