Question

15．如圖所示，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點G，點F是CD上一點，且滿足$\frac{CF}{FD}$=$\frac{1}{3}$，連接AF并延長交⊙O于點E，連接AD、DE，若CF=2，AF=3．給出下列結論：
①△ADF∽△AED；②FG=2；③DC平分∠ADE；④CG²=AG•BG；
其中結論正確的是（　�。�

• A． ①②
• B． ①②③
• C． ①②④
• D． ①②③④

Answer 1

分析 ①由AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，根據(jù)垂徑定理可得：$\widehat{AD}$=$\widehat{CA}$，DG=CG，繼而證得△ADF∽△AED；
②由$\frac{CF}{FD}$=$\frac{1}{3}$，CF=2，可求得DF的長，繼而求得CG=DG=4，則可求得FG=2；
③可以結合DC平分∠ADE，進而得出結論與已知矛盾進而得出答案；
④利用圓周角定理以及相似三角形的判定與性質得出即可．

解答 解：①∵AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，
∴$\widehat{AD}$=$\widehat{AC}$，DG=CG，
∴∠ADF=∠AED，
∵∠FAD=∠DAE（公共角），
∴△ADF∽△AED；
故①正確；
②∵$\frac{CF}{FD}$=$\frac{1}{3}$，CF=2，
∴FD=6，
∴CD=DF+CF=8，
∴CG=DG=4，
∴FG=CG-CF=2；
故②正確；
③連接AC，
∵由①得$\widehat{AD}$=$\widehat{AC}$，
∴當DC平分∠ADE時，$\widehat{AC}$=$\widehat{CE}$=$\widehat{AD}$，
∴∠CAE=∠ACD，
∴AF=FC，
又∵CF=2，AF=3，
∴FC≠AF，
∴③DC平分∠ADE錯誤；
④連接BC，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°，
∴∠CAB+∠CBA=90°，
∴∠ACG=∠CBA，
又∵∠ACG=∠CGB，
∴△ACG∽△CBG，
∴$\frac{GC}{BG}$=$\frac{AG}{CG}$
∴CG²=AG•BG故此選項正確．
故選；C．

點評 此題考查了相似三角形的判定與性質、圓周角定理、垂徑定理等知識，此題綜合性較強，難度適中，注意掌握數(shù)形結合思想的應用．