Question

如圖①，反比例函數(shù)y=

k

x

（x＜0）圖象經(jīng)過點A（-1，b），過點A作AB⊥x軸于B，△AOB的面積為

3

2

．
（1）求k和b的值．
（2）若一次函數(shù)y=-

3

3

x+m的圖象經(jīng)過點A，并且與x軸交與點M，求M的值．
（3）如圖②，在x軸上是否存在點P，使△PAM為等腰三角形？若存在，求出所有的P點，若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：反比例函數(shù)綜合題

專題：綜合題

分析：（1）根據(jù)三角形面積公式得到

1

2

×1×b=

3

2

，則可求出b=

3

，從而可確定A點坐標，然后根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征求k的值；
（2）把A點坐標代入一次函數(shù)解析式求出m的值，然后根據(jù)x軸上點的坐標特征求M點的坐標；
（3）先計算出AM的長，再分類討論：當MP=MA=2

3

時，根據(jù)x軸上點的坐標特征寫出P點坐標；當AP=AM時，P點與M點關(guān)于AB對稱，易得此時P點坐標；當PA=PM時，由于OA=OM=2，所以此時P點坐標為（0，0）．

解答：解：（1）∵△AOB的面積為

3

2

，
∴

1

2

×1×b=

3

2

，
∴b=

3

，
∴A（-1，

3

），
∴k=-1×

3

=-

3

，
（2）把A（-1，

3

）代入y=-

3

3

x+m得

3

3

+m=

3

，解得m=

2 3

3

，
∴一次函數(shù)解析式為y=-

3

3

x+

2 3

3

，
當y=0時，-

3

3

x+

2 3

3

=0，解得x=2，
∴M點的坐標為（2，0）；
（3）存在．
∵A（-1，

3

），M（2，0）；
∴MA=

(2+1)2+( 3 )2

=2

3

，
當MP=MA=2

3

時，P點坐標為（2+2

3

，0）或（2-2

3

，0）；
當AP=AM時，P點坐標為（-4，0）；
當PA=PM時，P點坐標為（0，0），
綜上所述，當P點坐標為（2+2

3

，0）或（2-2

3

，0）或（-4，0）或（0，0）時，△PAM為等腰三角形．

點評：本題考查了反比例函數(shù)的綜合題：熟練掌握反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征和一次函數(shù)圖象上點的坐標特征；會應(yīng)用等腰三角形的性質(zhì)；會運用分類討論的思想解決數(shù)學(xué)問題．