Question

18．綜合與實(shí)踐
問題情境：
兩張矩形紙片ABCD和CEFC完全相同，且AB=CE，AD＞AB．
操作發(fā)現(xiàn)：
（1）如圖1，點(diǎn)D在GC上，連接AC，CF，GE，AG，則AC和CF有何數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系？并說明理由．
實(shí)踐探究：
（2）如圖2，將圖1中的紙片CEFG以點(diǎn)C為旋轉(zhuǎn)中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)D落在GE上時(shí)停止旋轉(zhuǎn)，則AG和GF在同一直線上嗎？請(qǐng)判斷，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）由矩形的性質(zhì)得出∠ADC=∠GCE=∠CGF=90°，AC=CF，CD=CE，△ADC≌△CGF≌△GCE，得出AC=GE，∠DAC=∠GCF，∠ACD=∠GEC，由角的互余關(guān)系得出∠ACD+∠GCF=90°，即可得出結(jié)論；
（2）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：CD=CE，由等腰三角形的性質(zhì)得出∠CDE=∠CED，證出∠ACD=∠CDE，得出AC∥GE，證出四邊形ACEG是平行四邊形，得出AG∥CE，由平行線的性質(zhì)得出∠AGC=∠GCE=90°，證出∠AGC+∠CGF=180°，即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）AC=CF，AC⊥CF；理由如下：
∵四邊形ABCD和四邊形CEFC是矩形，且完全相同，AB=CE，
∴∠ADC=∠GCE=∠CGF=90°，AC=CF，CD=CE，△ADC≌△CGF≌△GCE，
∴AC=GE，∠DAC=∠GCF，∠ACD=∠GEC，
∵∠DAC+∠ACD=90°，
∴∠ACD+∠GCF=90°，
即∠ACF=90°，
∴AC⊥CF；

（2）AG和GF在同一直線上；理由如下：
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：CD=CE，
∴∠CDE=∠CED，
∵∠ACD=∠GEC，
∴∠ACD=∠CDE，
∴AC∥GE，
又∵AC=GE，
∴四邊形ACEG是平行四邊形，
∴AG∥CE，
∴∠AGC=∠GCE=90°，
∴∠AGC+∠CGF=90°+90°=180°，
∴AG和GF在同一直線上．

點(diǎn)評(píng) 本題是四邊形綜合題目，考查了矩形的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)、平行線的判定與性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)等知識(shí)；本題綜合性強(qiáng)，有一定難度．