Question

操作：如圖①，點(diǎn)O為線段MN的中點(diǎn)，直線PQ與MN相交于點(diǎn)O，請利用圖①畫出一對以點(diǎn)O為對稱中心的全等三角形。

　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

根據(jù)上述操作得到的經(jīng)驗(yàn)完成下列探究活動：

探究一：如圖②，在四邊形ABCD中，AB∥DC，E為BC邊的中點(diǎn)，∠BAE＝∠EAF，AF與DC的延長線相交于點(diǎn)F。試探究線段AB與AF、CF之間的等量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；

探究二：如圖③，DE、BC相交于點(diǎn)E，BA交DE于點(diǎn)A，且BE：EC＝1：2，

∠BAE＝∠EDF，CF∥AB。若AB＝5，CF＝1，求DF的長度。

Answer 1

解：(1)畫圖略

（2)結(jié)論：AB=AF+CF．

證明：分別延長AE、DF交于點(diǎn)M，如圖1．∵E為BC的中點(diǎn)，∴ BE=CE．

∵AB∥CD, ∴∠BAE=∠M,

在△ABE與△MCE中，  ∴△ABE≌△MCE(AAS), ∴AB=MC.

又∵∠BAE=∠EAF, ∴∠M=∠EAF.

又∵M(jìn)C=MF+CF, ∴AB=AF+CF.

(3)分別延長DE、CF交于點(diǎn)G，如圖2�！逜B∥CF，∴∠B=∠C. ∠BAE=∠G.

∴△ABE∽△GCE，∴又∵

∵AB=5，∴GC=10�！逨C=1，∴GF=9�！逜B∥CF，∴∠BAE=∠EDF，∠G=∠EDF

∴GF=DF，∴DF=9