Question

已知關于x的方程mx²-（3m-1）x+2m-2=0。
（1）求證：無論m取任何實數時，方程恒有實數根；
（2）若關于x的二次函數y= mx²-（3m-1）x+2m-2的圖象與x軸兩交點間的距離為2時，求拋物線的解析式；
（3）在直角坐標系xoy中，畫出（2）中的函數圖象，結合圖象回答問題：當直線y=x+b與（2）中的函數圖象只有兩個交點時，求b的取值范圍。

Answer 1

解：（1）分兩種情況討論： ①當m=0 時，方程為x-2=0， ∴x=2 方程有實數根； ②當m≠0時，則一元二次方程的根的判別式 △=[-（3m-1）]2-4m（2m-2）=m2+2m+1=（m+1）2≥0 不論m為何實數，△≥0成立， ∴方程恒有實數根綜合①②，可知m取任何實數，方程mx2-（3m-1）x+2m-2=0恒有實數根；
（2）設x1，x2為拋物線y= mx2-（3m-1）x+2m-2與x軸交點的橫坐標， 則有x1+x2=，x1·x2= 由| x1-x2|====， 由| x1-x2|=2得=2， ∴=2或=-2 ∴m=1或m= ∴所求拋物線的解析式為：y1=x2-2x或y2=-x2+2x- 即y1= x（x-2）或y2=-（x-2）（x-4） 其圖象如右圖所示；
（3）在（2）的條件下，直線y=x+b與拋物線y1，y2組成的圖象只有兩個交點，結合圖象，求b的取值范圍， 當y1=y時，得x2-3x-b=0，△=9+4b=0，解得b=-； 同理，可得△=9-4（8+3b）=0，得b=-， 觀察函數圖象可知當b<-或b>-時，直線y=x+b與（2）中的圖象只有兩個交點， 由 當y1=y2時，有x=2或x=1 當x=1時，y=-1， 所以過兩拋物線交點（1，-1），（2，0）的直線y=x-2， 綜上所述可知：當b<-或b>-或b=-2時，直線y=x+b與（2）中的圖象只有兩個交點。