Question

【題目】如圖1，在正方形中，，點是對角線上任意一點（不與、重合），點是的中點，連接，過點作交直線于點．

初步感知：當點與點重合時，比較： （選填“”、“”或“”）．

再次感知：如圖1，當點在線段上時，如何判斷和數量關系呢？

甲同學通過過點分別向和作垂線，構造全等三角形，證明出；

乙同學通過連接，證明出，，從而證明出．

理想感悟：如圖2，當點落在線段上時，判斷和的數量關系，并說明理由．

拓展應用：連接，并延長交直線于點．

（1）當時，如圖3，直接寫出的面積為 ；

（2）直接寫出面積的取值范圍 ．

Answer 1

【答案】初步感知：＝；理想感悟：PE＝PC，理由見解析；拓展應用：（1）；（2）0＜S≤．

【解析】

初步感知：當點P與點O重合時，則點E與點B重合，根據正方形的性質即可得到結論；

理想感悟：PE＝PC，過P作GH⊥AB于G，交CD于H，由“AAS”可證△EGP≌△PHC，可得結論；

拓展應用：（1）同理作輔助線可知△EGP≌△PHC，證明△DPF∽△BPA，根據相似三角形相似比等于對應高的比得：，計算PH＝，PG＝，然后求出AE的長，根據三角形面積公式可得結論；

（2）設PH＝x，則PG＝9－x，結合之前所得的結論列出S的函數關系式，利用二次函數的性質求得S的取值范圍即可．

解：初步感知：當點P與點O重合時，則點E與點B重合，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠BCD＝90°，

∵點O是BD的中點，

∴OC＝OB＝BD，

即：PC＝PE，

故答案為：＝；

理想感悟：PE＝PC，理由如下：

如圖2，過P作GH⊥AB于G，交CD于H，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB∥CD，∠ABD＝45°，∠A＝∠ABC＝90°，

∵GH⊥AB，

∴GH⊥CD，

∴∠EGP＝∠PHC＝90°，

∴∠GEP＋∠GPE＝90°，

∵PE⊥PC，

∴∠EPC＝90°，

∴∠GPE＋∠CPH＝90°，

∴∠GEP＝∠CPH，

∵∠ABD＝45°，∠EGP＝90°，

∴△BGP是等腰直角三角形，

∴BG＝GP，

∵∠EGP＝∠PHC＝∠ABC＝90°，

∴四邊形BGHC為矩形，

∴BG＝CH，

∴CH＝GP，

在△EGP與△PHC中，

∴△EGP≌△PHC（AAS），

∴PE＝PC；

拓展應用：（1）如圖，過P作GH⊥AB于G，交CD于H，

由題意可知△EGP≌△PHC，

則EG＝PH，

∵∠AGP＝∠PHD＝∠ADC＝90°，

∴四邊形AGHD為矩形，

∴AG＝DH，

∵∠BDC＝45°，∠PHD＝90°，

∴△PHD是等腰直角三角形，

∴DH＝PH，

∵，

∴，

∵DC＝AB，

∴，

∵AB∥CD，

∴△DFP∽△BAP，

∴，

又∵GH＝AD＝9，

∴PH＝，PG＝，

∴EG＝DH＝PH＝，

∴AG＝DH＝，

∴AE＝AG＋GE＝，

∴S△APE＝，

故△APE的面積為：，

（2）設PH＝x，則PG＝9－x，

由題意可知：AG＝EG＝DH＝PH＝x，

則S＝

∵0＜x＜9，

∴0＜S≤，

故答案為：0＜S≤．