Question

如圖，AB為⊙O的弦，若OA⊥OD且BD=CD．
（1）求證：BD是⊙O的切線；
（2）當(dāng)AC=3，OC=1，求BC的長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的判定

專題：計(jì)算題

分析：（1）連接OB，由BD=CD，利用等邊對(duì)等角得到∠DCB=∠DBC，再由AO垂直于OD，得到三角形AOC為直角三角形，得到兩銳角互余，等量代換得到OB垂直于BD，即可得證；
（2）延長(zhǎng)AO至圓上E點(diǎn)，連接BE，由勾股定理得AO長(zhǎng)度，易得△AOC∽△ABE，通過(guò)線段比例得出BC的長(zhǎng)度．

解答：（1）證明：連接BD，
∵OA=OB，DC=DB，
∴∠A=∠ABO，∠DCB=∠DBC，
∵AO⊥OD，
∴∠AOC=90°，即∠A+∠ACO=90°，
∵∠ACO=∠DCB=∠DBC，
∴∠ABO∠DBC=90°，即OB⊥BD，
則BD為圓O的切線；

（2）解：延長(zhǎng)AO至圓上E點(diǎn)，連接BE，
∵AC=3，OC=1，
∴AO=2

2

，
∵∠ABE=∠AOD=90°，
∴△AOC∽△ABE
∴

AC

AO

=

AE

AB

即：

3

2 2

=

4 2

3+BC

∴BC=

7

3

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了切線的判定，相似三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握切線的判定方法是解本題的關(guān)鍵．