Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形的頂點分別在軸和軸的正半軸上，頂點的坐標(biāo)為（4,2），的垂直平分線分別交于點，過點的反比例函數(shù)的圖像交于點．

（1）求反比例函數(shù)的表示式；

（2）判斷與的位置關(guān)系，并說明理由；

（3）連接，在反比例函數(shù)圖像上存在點，使，直接寫出點的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）反比例函數(shù)表達式為；（2），證明見解析；（3）．

【解析】

（1）求出點橫坐標(biāo)，也就是.由垂直平分，得到,,

,在，,求出,從而求出.

（2）方法一:通過邊長關(guān)系可證,為公共角,從而,,;

方法二:求出直線與直線的解析式，系數(shù)相等,所以

方法三: 延長交軸于點,證明,四邊形是平行四邊形, .

（3）求出,根據(jù),設(shè),代入點坐標(biāo)，求得,與聯(lián)立,求出的坐標(biāo).

（1）連接，

∵垂直平分，∴．

∵，∴．

設(shè)，則，

∵四邊形矩形，

∴，．

在中，

．即 ．解得．

∴點．

將點的坐標(biāo)代入中，得．

∴所求反比例函數(shù)表達式為．

（2）．

方法一：將代入得，，∴點．

∵，，，，

∴，，，．

∴，．

∴．

∵，

∴．

∴．

∴．

方法二：將代入得，，∴點．

由（1）知，，．

設(shè)直線的函數(shù)表達式為，∵點在直線上，∴，∴．

∴設(shè)直線的函數(shù)表達式為．

設(shè)直線的函數(shù)表達式為，∵點在直線上，

∴ 解得

∴直線的函數(shù)表達式為．

∵直線與直線的值為，∴直線與直線平行．

∴．

方法三：延長交軸于點，

設(shè)直線的函數(shù)表達式為，∵點在直線上，

∴ 解得

∴直線的函數(shù)表達式為．

將代入中，得．∴點．

∴，．

∴．

∵四邊形矩形，

∴．

∴四邊形是平行四邊形．

∴．

（3）．