Question

9．如圖，已知半圓的圓心為O，點C是半圓上的一點，過點C作CD⊥AB于D，連接AC，將△ACD沿AC翻折得到△ACD，AD與$\widehat{AC}$交于點E．
（1）連接OC，求證：OC∥AD；
（2）當直徑AB=10cm，AE=6cm，求弦AC的長．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)折疊的性質(zhì)得到∠DAC=∠D′AC，∠D′=∠ADC，由CD⊥AB，得到∠ADC=90°，∠D′=90°，于是得到∠DAC+∠ACD=∠ACD′+∠D′AC=90°，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠CAO=∠ACO，推出∠D′CA+∠ACO=90°，證得∠D′+∠ACD′=180°，即可得到結(jié)論；
（2）連接CE，BC，由∠EAC=∠BAC，得到$\widehat{CE}$=$\widehat{BC}$，證得CE=BC，推出Rt△CD′E≌Rt△BDC，得到D′E=BD，求出BD=D′E=2，根據(jù)射影定理得即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）∵將△ACD沿AC翻折得到△ACD′，
∴∠DAC=∠D′AC，
∴∠D′=∠ADC，
∵CD⊥AB，
∴∠ADC=90°，
∴∠D′=90°，
∴∠DAC+∠ACD=∠ACD′+∠D′AC=90°，
∴∠ACD′+∠CAD=90°，
∵OA=OC，
∴∠CAO=∠ACO，
∴∠D′CA+∠ACO=90°，
∴∠D′+∠ACD′=180°，
∴OC∥AD′；

（2）連接CE，BC，
∵∠EAC=∠BAC，
∴$\widehat{CE}$=$\widehat{BC}$，
∴CE=BC，
在Rt△CD′E與Rt△BDC中，
$\left\{\begin{array}{l}{CE=BC}\\{CD′=CD}\end{array}\right.$，
∴Rt△CD′E≌Rt△BDC，
∴D′E=BD，
∴AE+D′E=AB=BD，
∵AB=10cm，AE=6cm，
∴BD=D′E=2，
∴AD=8，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°，
∵CD⊥AB，
由射影定理得：AC²=AD•AB=80，
∴AC=4$\sqrt{5}$．

點評 本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，勾股定理，射影定理，圓周角定理，平行線的判定，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．