Question

如圖，扇形OAB與扇形OCD的圓心角都是90°，連結(jié)AC，BD．
（1）求證：AC=BD；
（2）若圖中陰影部分的面積是

7

4

πcm2，OC=3cm，求OA的長．

Answer 1

考點：扇形面積的計算,全等三角形的判定與性質(zhì)

專題：計算題

分析：（1）根據(jù)等角的余角相等得∠AOC=∠BOD，則可根據(jù)“SAS”證明△AOC≌△AOD，則AC=BD；
（2）如圖，由于∠COF=∠EOD，則S_扇形COF=S_扇形EOD，加上S_△AOC=S_△AOD，易得S=S′，于是S_陰影部分=S_扇形AOB-S_扇形EOF，然后根據(jù)扇形面積公式得

90•π•OA2

360

-

90•π•32

360

=

7

4

π，然后解方程即可求出OA．

解答：（1）證明：∵∠COD=∠AOB=90°，
即∠AOC+∠AOD=∠BOD+∠AOD，
∴∠AOC=∠BOD，
在△AOC和△BOD中，

AO=BO ∠AOC=∠BOD CO=DO

，
∴△AOC≌△AOD，
∴AC=BD；
（2）解：如圖，∵∠COF=∠EOD，
∴S_扇形COF=S_扇形EOD，
而S_△AOC=S_△AOD，
∴S=S′，
∴S_陰影部分=S_扇形AOB-S_扇形EOF，
∴

90•π•OA2

360

-

90•π•32

360

=

7

4

π，
∴OA=4（cm）．

點評：本題考查了扇形面積的計算：設(shè)圓心角是n°，圓的半徑為R的扇形面積為S，則S_扇形=

360

n

πR²或S_扇形=

1

2

lR（其中l(wèi)為扇形的弧長．也考查了利用面積的和差計算不規(guī)則圖形的面積．