Question

現(xiàn)有質(zhì)量分別為9克和13克的砝碼若干只，在天平上要稱出質(zhì)量為3克的物體，問至少要用多少只這樣的砝碼才能稱出？并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析：首先假設(shè)出先考慮9克砝碼的個(gè)數(shù)，設(shè)為|x|只，設(shè)13克砝碼是|y|只，得出有

x=9+13k y=-6-9k

即k的值，再根據(jù)實(shí)際情況分三種情況進(jìn)行討論，得出最少用的砝碼個(gè)數(shù)．

解答：解：由題意知，相同質(zhì)量的砝碼不會(huì)同時(shí)出現(xiàn)在天平的兩個(gè)秤盤之中，假定當(dāng)天平平衡時(shí)，用9克的砝|x|只，當(dāng)該砝碼出現(xiàn)在被稱物體所在的秤盤中時(shí)，x取負(fù)整數(shù)，同理，假定13克的砝碼用了|y|只，所以當(dāng)天平平衡稱出了3克的物體時(shí)，應(yīng)有：
9x+13y=3，
問題變?yōu)榍髚x|+|y|的最小值，
先可任取方程的一個(gè)整數(shù)解例如，因y=

3-9x

13

，當(dāng)x=9時(shí)，得y=-6，
利用該解得

9×9-13×6=3 9x+13y=3

，
兩式相減，得9（x-9）+13（y+6）=0
9（x-9）=-13（y+6），
因9和13互質(zhì)，x-9必能被13整除，故設(shè)x-9=13k，這里k是整數(shù)，這時(shí)有9×13k=-13（y+6），-（y+6）=9k，
總之，有

x=9+13k y=-6-9k

，k=0，±1，±2，
（1）當(dāng)k=0時(shí)，x=9，y=-6，|x|+|y|=15，
（2）當(dāng)k≥1時(shí)，|x|≥22，|y|＞0，從而|x|+|y|＞22，
（3）當(dāng)k≤-1時(shí)，若k=-1，則x=-4，y=3，|x|+|y|=7，
若k＜-1，則|y|≥12，|x|＞0，從而|x|+|y|＞12，
由上可知，至少要用7只這樣的砝碼，其中9克的4只，13克的3只．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了應(yīng)用類問題，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，列出等量關(guān)系，再分三種情況討論，不要漏解．