Question

如圖，已知△ABC中，點(diǎn)D是BA上一點(diǎn)，BD=AC，E，F(xiàn)分別是BC，DA的中點(diǎn)，EF和CA的延長(zhǎng)線(xiàn)相交于點(diǎn)G．求證：AG=AF．

Answer 1

考點(diǎn)：三角形中位線(xiàn)定理,等腰三角形的判定與性質(zhì)

專(zhuān)題：證明題

分析：延長(zhǎng)BA至H，使AH=BD，然后求出EF是△BCH的中位線(xiàn)，再根據(jù)三角形的中位線(xiàn)平行于第三邊并且等于第三邊的一半可得EF∥CH，根據(jù)兩直線(xiàn)平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得∠ACH=∠AGF，∠H=∠AFG，再求出AC=AH，根據(jù)等邊對(duì)等角可得∠H=∠ACH，等量代換即可得到∠AGF=∠AFG，最后利用等角對(duì)等邊證明即可．

解答：證明：如圖，延長(zhǎng)BA至H，使AH=BD．
∵BD=AH、DF=FA，
∴BD+DF=FA+AH，
即BF=FH，
又∵點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，
∴BE=EC，
∴EF是△BCH中過(guò)BC、BH的中位線(xiàn)，
∴EF∥CH，
∴∠ACH=∠AGF，∠H=∠AFG，
∵BD=AC，AH=BD，
∴AC=AH，
∴∠H=∠ACH，
∴∠AGF=∠AFG，
∴AG=AF．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了三角形的中位線(xiàn)平行于第三邊并且等于第三邊的一半，等腰三角形的判定，平行線(xiàn)的性質(zhì)，難點(diǎn)在于作輔助線(xiàn)構(gòu)造出EF為中位線(xiàn)的三角形和以點(diǎn)A為頂點(diǎn)的等腰三角形．