Question

20．如圖，二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a≠0）的圖象與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，且OA=OC．則下列結(jié)論：①abc＜0；②ac-b+1=0；③OA•OB=-$\frac{c}{a}$．其中正確結(jié)論的個數(shù)是（　�。�

• A． 3
• B． 0
• C． 2
• D． 1

Answer 1

分析 由拋物線開口方向得a＜0，由拋物線的對稱軸位置可得b＞0，由拋物線與y軸的交點(diǎn)位置可得c＞0，則可對①進(jìn)行判斷；利用OA=OC可得到A（-c，0），再把A（-c，0）代入y=ax²+bx+c得ac²-bc+c=0，兩邊除以c則可對②進(jìn)行判斷；設(shè)A（x₁，0），B（x₂，0），則OA=-x₁，OB=x₂，根據(jù)拋物線與x軸的交點(diǎn)問題得到x₁和x₂是方程ax²+bx+c=0（a≠0）的兩根，利用根與系數(shù)的關(guān)系得到x₁•x₂=$\frac{c}{a}$，于是OA•OB=-$\frac{c}{a}$，則可對③進(jìn)行判斷．

解答 解：∵拋物線開口向下，
∴a＜0，
∵拋物線的對稱軸在y軸的右側(cè)，
∴b＞0，
∵拋物線與y軸的交點(diǎn)在x軸上方，
∴c＞0，
∴abc＜0，所以①正確；
∵C（0，c），OA=OC，
∴A（-c，0），
把A（-c，0）代入y=ax²+bx+c得ac²-bc+c=0，
∴ac-b+1=0，所以②正確；
設(shè)A（x₁，0），B（x₂，0），
∵二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a≠0）的圖象與x軸交于A，B兩點(diǎn)，
∴x₁和x₂是方程ax²+bx+c=0（a≠0）的兩根，
∴x₁•x₂=$\frac{c}{a}$，
∴OA•OB=-$\frac{c}{a}$，所以③正確．
故選：B．

點(diǎn)評 本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系：對于二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a≠0），二次項系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大�。寒�(dāng)a＞0時，拋物線向上開口；當(dāng)a＜0時，拋物線向下開口；一次項系數(shù)b和二次項系數(shù)a共同決定對稱軸的位置：當(dāng)a與b同號時（即ab＞0），對稱軸在y軸左； 當(dāng)a與b異號時（即ab＜0），對稱軸在y軸右（簡稱：左同右異）；常數(shù)項c決定拋物線與y軸交點(diǎn)：拋物線與y軸交于（0，c）；拋物線與x軸交點(diǎn)個數(shù)由△決定：△=b²-4ac＞0時，拋物線與x軸有2個交點(diǎn)；△=b²-4ac=0時，拋物線與x軸有1個交點(diǎn)；△=b²-4ac＜0時，拋物線與x軸沒有交點(diǎn)．