Question

已知兩點(diǎn)A（-3，4）和B（3，-4），
（1）若拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過A，B兩點(diǎn)，求證：方程ax²+bx+c=0一定有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；
（2）試判斷是否存在對(duì)稱軸是y軸且經(jīng)過A，B兩點(diǎn)的拋物線，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

考點(diǎn)：拋物線與x軸的交點(diǎn)

專題：

分析：（1）把點(diǎn)A、B的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，求得a、b、c間的數(shù)量關(guān)系，然后再計(jì)算方程ax²+bx+c=0的根的判別式得到△=b²-4ac，根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)得到△＞0，然后根據(jù)判別式的意義即可得到方程ax²+bx+c=0一定有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．
（2）設(shè)該拋物線方程為y=kx²+t，然后把點(diǎn)A、B的坐標(biāo)代入該拋物線方程，看方程組是否有解．

解答：（2）證明：把點(diǎn)A（-3，4）和B（3，-4）分別代入y=ax²+bx+c，得

9a-3b+c=4 9a+3b+c=-4

，
則

a=- c 9 b=- 4 3

，
在方程ax²+bx+c=0中，
∵△=b²-4ac=

16

9

-4×（-

c

9

）c=

4c2

9

+

16

9

＞0，
∴方程ax²+bx+c=0一定有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；

（2）解：不存在對(duì)稱軸是y軸且經(jīng)過A，B兩點(diǎn)的拋物線，理由如下：
設(shè)該拋物線方程為y=kx²+t（k≠0），
把點(diǎn)A（-3，4）和B（3，-4），
代入該拋物線方程，得

9k+t=4 9k+t=-4

，
該方程組無解，
故不存在這樣的拋物線．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式：常設(shè)二次函數(shù)的解析式有一般式、頂點(diǎn)式和交點(diǎn)式．也考查了一元二次方程根的判別式．