Question

17．已知：如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，對角線AC的垂直平分線與邊AD、BC分別相交于點(diǎn)E、F．
求證：（1）∠1=∠2．
（2）四邊形AFCE是菱形．

Answer 1

分析 （1）由平行線的性質(zhì)：內(nèi)錯角相等即可證明；
（2）由于知道了EF垂直平分AC，因此只要證出四邊形AFCE是平行四邊形即可得出AFCE是菱形的結(jié)論．

解答 證明：（1）∵AD∥BC，
∴∠1=∠2；
（2）∵EF是對角線AC的垂直平分線，
∴AO=CO，AC⊥EF，
∵AD∥BC，
∴∠AEO=∠CFO，
在△AEO和△CFO中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠1=∠2}\\{∠AEO=∠CFO}\\{AO=CO}\end{array}\right.$，
∴△AEO≌△CFO（AAS），
∴AE=CF，
∴四邊形AFCE是平行四邊形，
又∵AC⊥EF，
∴四邊形AFCE是菱形．

點(diǎn)評 本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)、菱形的判定、全等三角形的判定與性質(zhì)．菱形的判別方法是說明一個四邊形為菱形的理論依據(jù)，常用三種方法：①定義；
②四邊相等；③對角線互相垂直平分．