Question

已知：如圖，∠B=∠C=90°，M是BC的中點，DM平分∠ADC．
（1）求證：AM平分∠BAD；
（2）試說明線段DM與AM有怎樣的位置關(guān)系？
（3）線段CD、AB、AD間有怎樣的關(guān)系？直接寫出結(jié)果．

Answer 1

考點：角平分線的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì)

專題：幾何綜合題

分析：（1）首先要作輔助線，ME⊥AD則利用角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等可知ME=MC，再利用中點的條件可知ME=MB，再利用到角兩邊距離相等的點在角的平分線上的逆定理證明AM平分∠DAB．
（2）根據(jù)平行線性質(zhì)得出∠CDA+∠BAD=180°，求出∠1+∠3=90°，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出即可．
（3）證Rt△DCM≌Rt△DEM，推出CD=DE，同理得出AE=AB，即可得出答案．

解答：（1）證明：作ME⊥AD于E，
∵MC⊥DC，ME⊥DA，MD平分∠ADC，
∴ME=MC，
∵M為BC中點，
∴MB=MC，
又∵ME=MC，
∴ME=MB，
又∵ME⊥AD，MB⊥AB，
∴AM平分∠DAB．

（2）解：DM⊥AM，
理由是：∵DM平分∠CDA，AM平分∠DAB，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∵DC∥AB，
∴∠CDA+∠BAD=180°，
∴∠1+∠3=90°，
∴∠DMA=180°-（∠1+∠3）=90°，
即DM⊥AM．

（3）解：CD+AB=AD，
理由是：∵ME⊥AD，MC⊥CD，
∴∠C=∠DEM=90°，
在Rt△DCM和Rt△DEM中

DM=DM EM=CM

∴Rt△DCM≌Rt△DEM（HL），
∴CD=DE，
同理AE=AB，
∵AE+DE=AD，
∴CD+AB=AD．

點評：本題考查了角平分線性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用，此題是一道比較典型的題目，難度適中，注意：角平分線上的點到角的兩邊的距離相等．