Question

13．如圖，拋物線y=x²-4x與x軸交于O，A兩點，P為拋物線上一點，過點P的直線y=x+m與對稱軸交于點Q，與x軸交于點T．
（1）這條拋物線的對稱軸是直線x=2，直線PQ與x軸所夾銳角的度數(shù)是45°；
（2）若m=2，求△POQ與△PAQ的面積比；
（3）是否存在實數(shù)m，使得點P為線段QT的中點？若存在，求出實數(shù)m的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）通過解方程x²-4x得A（4，0），則利用對稱性得到拋物線的對稱軸；直線x=2交x軸于B點，如圖，求出B（2，0），Q，2，2+m），T（-m，0），接著判斷△BQT為等腰直角三角形，則可判斷直線PQ與x軸所夾銳角的度數(shù)為45°；
（2）作AE⊥PQ于E，OF⊥PQ于F，如圖，求出$\frac{OF}{AE}$=$\frac{1}{3}$，通過三角形面積公式可得到△POQ與△PAQ的面積比；
（3）利用線段的中點坐標(biāo)公式得到P（$\frac{2-m}{2}$，$\frac{2+m}{2}$），然后把P點坐標(biāo)代入拋物線解析式得到關(guān)于m的方程，再通過解方程可判斷是否存在實數(shù)m，使得點P為線段QT的中點．

解答 解：（1）當(dāng)y=0時，x²-4x=0，解得x₁=0，x₂=4，則A（4，0），
所以拋物線的對稱軸為直線x=2；
直線x=2交x軸于B點，如圖，則B（2，0），
當(dāng)x=2時，y=2+m，則Q（2，2+m），
當(dāng)y=0時，x+m=0，解得x=-m，則T（-m，0），
因為BT=|2+m|，QB=|2+m|，
所以BT=QB，
所以△BQT為等腰直角三角形，
所以∠QTB=45°，即直線PQ與x軸所夾銳角的度數(shù)為45°；
故答案為直線x=2，45°；
（2）作AE⊥PQ于E，OF⊥PQ于F，如圖，
∵OF∥AE，
∴$\frac{OF}{AE}$=$\frac{OT}{AT}$，
當(dāng)m=2時，T（-2，0），
∴$\frac{OF}{AE}$=$\frac{2}{2+4}$=$\frac{1}{3}$，
∴△POQ與△PAQ的面積比=$\frac{1}{3}$；
（3）存在．
∵T（-m，0），Q（2，2+m），
而P點為TQ的中點，
∴P（$\frac{2-m}{2}$，$\frac{2+m}{2}$），
把P（$\frac{2-m}{2}$，$\frac{2+m}{2}$）代入y=x²-4x得（$\frac{2-m}{2}$）²-4•$\frac{2-m}{2}$=$\frac{2+m}{2}$，
整理得m²+2m-16=0，解得m₁=-1+$\sqrt{17}$，m₂=-1-$\sqrt{17}$，
即m的值為-1+$\sqrt{17}$或-1-$\sqrt{17}$時，使得點P為線段QT的中點．

點評 本題考查了拋物線與x軸的交點：求二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）與x軸的交點坐標(biāo)問題轉(zhuǎn)化為解關(guān)于x的一元二次方程．解決（2）小題的關(guān)鍵求出點O和點P到直線PQ的比，解決（3）小題的關(guān)鍵是用m表示出P點坐標(biāo)．