Question

如圖，拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過A（-1，0）、C（0，3）、B（2，3）
（1）求拋物線的解析式；
（2）線段AB上有一動(dòng)點(diǎn)P，過點(diǎn)P作y軸的平行線，交拋物線于點(diǎn)Q，求線段PQ的最大值；
（3）拋物線的對稱軸上是否存在點(diǎn)M，使△ABM為直角三角形？如果存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；如果不存在，說明理由（4個(gè)坐標(biāo)）．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：壓軸題

分析：（1）把點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)代入拋物線解析式，利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式解答即可；
（2）設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b（k≠0），然后利用待定系數(shù)法求出直線解析式，再表示出PQ，然后利用二次函數(shù)的最值問題解答；
（3）求出拋物線對稱軸為直線x=

1

2

，然后分①AB是直角邊時(shí)，寫出以點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)的直線AM的解析式，然后求解即可，再寫出以點(diǎn)B為直角頂點(diǎn)的直線BM的解析式，然后求解即可，②AB是斜邊時(shí)，設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（

1

2

，m），然后利用勾股定理列方程求出m的值，再寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)即可．

解答：解：（1）∵拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過A（-1，0）、C（0，3）、B（2，3），
∴

a-b+c=0 c=3 4a+2b+c=3

，
解得

a=-1 b=2 c=3

，
所以，拋物線解析式為y=-x²+2x+3；

（2）設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b（k≠0），
則

-k+b=0 2k+b=3

，
解得

k=1 b=1

，
所以，直線AB的解析式為y=x+1，
設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為x，∵PQ∥y軸，
∴點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為x，
∴PQ=（-x²+2x+3）-（x+1），
=-x²+x+2，
=-（x-

1

2

）²+

5

2

，
∵點(diǎn)P在線段AB上，
∴-1≤x≤2，
∴當(dāng)x=

1

2

時(shí)，線段PQ的長度最大，最大值為

5

2

；

（3）由（2）可知，拋物線對稱軸為直線x=

1

2

，
①AB是直角邊時(shí)，若點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)，則直線AM的解析式為y=-x-1，
當(dāng)x=

1

2

時(shí)，y=-

1

2

-1=-

3

2

，
此時(shí)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（

1

2

，-

3

2

），
若點(diǎn)B為直角頂點(diǎn)，則直線BM的解析式為y=-x+5，
當(dāng)x=

1

2

時(shí)，y=-

1

2

+5=

9

2

，
此時(shí)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（

1

2

，

9

2

），
②AB是斜邊時(shí)，設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（

1

2

，m），
則AM²=（-1-

1

2

）²+m²=

9

4

+m²，BM²=（2-

1

2

）²+（m-3）²=

9

4

+（m-3）²，
由勾股定理得，AM²+BM²=AB²，
所以，

9

4

+m²+

9

4

+（m-3）²=（-1-2）²+（0-3）²，
整理得，4m²-12m-9=0，
解得m=

3±3 2

2

，
所以，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（

1

2

，

3+3 2

2

）或（

1

2

，

3-3 2

2

），
綜上所述，拋物線的對稱軸上存在點(diǎn)M（

1

2

，

9

2

）或（

1

2

，-

3

2

）或（

1

2

，

3+3 2

2

）或（

1

2

，

3-3 2

2

），使△ABM為直角三角形．

點(diǎn)評：本題是二次函數(shù)綜合題型，主要利用了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，二次函數(shù)的最值問題，直角三角形的性質(zhì)，難點(diǎn)在于（2）列出PQ的表達(dá)式，（3）分情況討論．